Triangolo rettangolo

[floppino81892]

Determinare un triangolo rettangolo di cui siano noti perimetro e il raggio $ r $ del cerchio inscritto. Una volta fissato il raggio del cerchio inscritto, qual è il valore minimo del perimetro?

[Valenash]

Determinare un triangolo rettangolo di cui siano noti perimetro e il raggio $ r $ del cerchio inscritto. Una volta fissato il raggio del cerchio inscritto, qual è il valore minimo del perimetro?

Sia A l'angolo retto, B e C gli altri in senso orario. sia inoltre alpha l'angolo in A, beta l'angolo in B e gamma l'angolo in C
Beh, sappiamo intanto che $2x+2y+2z = 2p$,(dove $x$, $y$ e $z$ sono le lugnhezze delle tangenti alla circonferenza inscritta condotte rispettivamente da A, da B e da C) poi $r=x$ (dove $x$ è la lunghezza delle tue tangenti condotte da A) poichè $r= x \cdot tg(\frac {\alpha}{2})$ e infine, sempre applicando questa formula, $y \cdot tg(\frac {\beta}{2}) = z \cdot tg(\frac {\gamma}{2})$ (sapendo che beta e gamma sono complementari, dunque $tg{\beta}=cotg \gamma$. A questo punto se non sbaglio basta risolvere il sistema e trovare a, b e c.
All'altra parte del problema ci penso dopo =P

EDIT: non l'ho scritto, ma $a=y+z$, $b=x+z$ e $c=x+y$

RE-EDIT: il valore minimo del perimetro ce l'avrò quando il triangolo è isoscele, dunque: $2x+4y = 2p$ con $2y= \sqrt{(x+y)^2} \rightarrow 3y^2 - 2xy - x^2=0$ e si risolve.