Punti interi che formano segmenti interi
Punti interi che formano segmenti interi
Siano dati sul piano certesiano 3 punti non collineari $ A $ , $ B $ e $ C $ a cordinate intere tali che $ AB $ , $ BC $ , $ CA $ siano interi. Qual'è il minor valore possibile di $ AB $ ?
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: Punti interi che formano segmenti interi
Secondo me è 3:
Si vede facilmente che A(0;0), B(0;3) e C(4;0) soddisfano quanto richiesto, quindi AB= 3 è possibile ottenerlo. Mi basta quindi mostrare che AB=1 e AB=2 sono impossibili da ottenere.
Suppongo AB=1: per la disugualianza triangolare sappiamo che gli altri due lati (numeri interi) devono essere uguali, perciò il triangolo è necessariamente isoscele ma allora, ponendo wlog A(0;0) e B(0;0) [non ci sono altre possibilità per un segmento di lunghezza 1 con vertici a coordinate intere] otterrei necessariamente C ($ \frac{1}{2} $ ; yC) che non va bene.
Suppongo AB=2: come sopra allora posso immaginare A(0;0) e B(2;0) senza perdere di generalità, e controllo i 3 casi:
I) il triangolo è rettangolo: impossibile perchè non esiste una terna pitagoraica con il 2.
II) il triangolo è acutangolo in A ed in B: impossibile perchè avrei xC=1 e perciò ABC isoscele con altezza intera, assurdo per teorema di Pitagora (non esiste una terna pitagorica con il numero 1, ma tracciando l'altezza del triangolo ottengo due triangoli rettangoli a lati interi!)
III) il triangolo è ottusangolo in A o in B: facendo riferimento alla figura allegata dovrei avere $ h^2+l^2=b^2 $ ma anche $ h^2+(l+2)^2 = (b+1)^2 $ ottenendo (risolvo il sistema) $ 4l+4=2b+1 $, un'equazione senza soluzioni intere (LHS è pari, RHS è dispari).
Perciò il minimo AB che posso ottenere è 3.
(EDIT: g
Si vede facilmente che A(0;0), B(0;3) e C(4;0) soddisfano quanto richiesto, quindi AB= 3 è possibile ottenerlo. Mi basta quindi mostrare che AB=1 e AB=2 sono impossibili da ottenere.
Suppongo AB=1: per la disugualianza triangolare sappiamo che gli altri due lati (numeri interi) devono essere uguali, perciò il triangolo è necessariamente isoscele ma allora, ponendo wlog A(0;0) e B(0;0) [non ci sono altre possibilità per un segmento di lunghezza 1 con vertici a coordinate intere] otterrei necessariamente C ($ \frac{1}{2} $ ; yC) che non va bene.
Suppongo AB=2: come sopra allora posso immaginare A(0;0) e B(2;0) senza perdere di generalità, e controllo i 3 casi:
I) il triangolo è rettangolo: impossibile perchè non esiste una terna pitagoraica con il 2.
II) il triangolo è acutangolo in A ed in B: impossibile perchè avrei xC=1 e perciò ABC isoscele con altezza intera, assurdo per teorema di Pitagora (non esiste una terna pitagorica con il numero 1, ma tracciando l'altezza del triangolo ottengo due triangoli rettangoli a lati interi!)
III) il triangolo è ottusangolo in A o in B: facendo riferimento alla figura allegata dovrei avere $ h^2+l^2=b^2 $ ma anche $ h^2+(l+2)^2 = (b+1)^2 $ ottenendo (risolvo il sistema) $ 4l+4=2b+1 $, un'equazione senza soluzioni intere (LHS è pari, RHS è dispari).
Perciò il minimo AB che posso ottenere è 3.
(EDIT: g
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Ultima modifica di Citrullo il 08 giu 2011, 16:04, modificato 1 volta in totale.
Re: Punti interi che formano segmenti interi
Perfetto 
!!!! Praticamente quasi uguale alla mia che cambia solo nel caso iii) del secondo punto dove ho usato di nuovo la disuguaglianza triangolare.
p.s: typo nello scrivere le coordinate dei punti nel primo caso.
!!!! Praticamente quasi uguale alla mia che cambia solo nel caso iii) del secondo punto dove ho usato di nuovo la disuguaglianza triangolare.p.s: typo nello scrivere le coordinate dei punti nel primo caso.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: Punti interi che formano segmenti interi
Si beh anch'io l'ho usata implicitamente! 
Grazie, ho editato!
Grazie, ho editato!
Re: Punti interi che formano segmenti interi
non basta dire che la più piccola terna pitagorica è 3,4,5?
quindi AB=3
quindi AB=3
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Re: Punti interi che formano segmenti interi
No, non basta perchè nessuno ti dice che i triangoli sono rettangoli.giro94 ha scritto:non basta dire che la più piccola terna pitagorica è 3,4,5?
quindi AB=3
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.