Primi tra potenze

[amatrix92]

Dimostrare che per ogni naturale $ n > 1 $ esiste un primo $ p $ tale che $ n<p<n^2 $. Aspetto la soluzione di qualcuno e poi posto alcuni Bonus !

[Drago96]

Ci provo...

Io userei l'induzione:
1) vedo che per $n=2 \rightarrow p=3$
2) suppongo che $n<p<n^2$ sia vero per tutti gli $n$
3) sostituisco a $n$ $n+1$ : $n+1<p<n^2+2n+1$
Questo è vero per qualsiasi $n$, tranne che per $p=n+1$ ; dunque diventa $n+1<n^2+2n+1 \rightarrow 0<n(n+1)$ che è sempre vero, dato che $n>1$

Chissà perchè ho la sensazione che manchi qualcosa, o addirittura che sia tutto sbagliato...

[Claudio.]

Ci provo...

Io userei l'induzione:
1) vedo che per $n=2 \rightarrow p=3$
2) suppongo che $n<p<n^2$ sia vero per tutti gli $n$
3) sostituisco a $n$ $n+1$ : $n+1<p<n^2+2n+1$
Questo è vero per qualsiasi $n$, tranne che per $p=n+1$ ; dunque diventa $n+1<n^2+2n+1 \rightarrow 0<n(n+1)$ che è sempre vero, dato che $n>1$

Chissà perchè ho la sensazione che manchi qualcosa, o addirittura che sia tutto sbagliato...

A parte che non capisco cosa significa...ma dov'è la dimostrazione? ^^

[Drago96]

A parte che non capisco cosa significa...ma dov'è la dimostrazione? ^^

Me lo aspettavo...

Allora, se la mia ipotesi (assunta dall'induzione) è che esiste un $p$ tale che per ogni $n$, $n<p<n^2$ , sostitendo $n+1$ a $n$ (secondo passo dell'induzione) ottengo $n+1<p<n^2+2n+1$ .
Ma se $p<n^2$ allora $p<n^2+2n+1$ ; inoltre dato che $n<p$ , allora esiste $p$ solo se $p \not =n+1$

Fin qua ha senso???

[Claudio.]

Si, scusami, non ci avevo pensato sul problema, e siccome non avevi scritto niente non avevo capito cosa intendevi, pensavo avessi frainteso il principio d'induzione, errore mio.
Comunque si è giusta, adesso devi dimostrare che vale anche quando n+1, ovvero n è primo...
(da quando sono "tornato" nel forum non ho scritto un post senza almeno un errore )

[Valenash]

Dimostrare che per ogni naturale $ n > 1 $ esiste un primo $ p $ tale che $ n<p<n^2 $. Aspetto la soluzione di qualcuno e poi posto alcuni Bonus !

soluzione in una riga: per il teorema di Chebyshev, esiste sempre un primo tra $n$ e $2n$ (con $n>1$), dunque a maggior ragione tra $n$ e $n^2$

E ora corro a nascondermi prima che mi chiediate di dimostrare questo teorema
ho postato questo solo per ricordare a qualcuno quel teorema, se mi viene in mente una dimostrazione carina del testo di amatrix edito e la posto =)
(carina=non per induzione, senza nulla togliere alla cara vecchia buona induzione XD)

[<enigma>]

Dimostrare che per ogni naturale $ n > 1 $ esiste un primo $ p $ tale che $ n<p<n^2 $. Aspetto la soluzione di qualcuno e poi posto alcuni Bonus !

soluzione in una riga: per il teorema di Chebyshev, esiste sempre un primo tra $n$ e $2n$ (con $n>1$), dunque a maggior ragione tra $n$ e $n^2$

E ora corro a nascondermi prima che mi chiediate di dimostrare questo teorema

In realtà di questo teorema esiste una dimostrazione molto carina, di livello olimpico oserei dire.
Inoltre c'è una generalizzazione carina (ma non così facile): fissato $ \epsilon >0 $ c'è sempre un $ n<p<(1+\epsilon)n $ per $ n $ abbastanza grande.

[patatone]

qualcuno c'è riuscito? Io è da qualche giorno che ci penso ma non ho avuto idee

[ileo83]

chiedo scusa, ma allora, i primi sarebbero infiniti?

[ileo83]

e poi, ma sei io, sostituisco a n-n+1, allora, l'indizione funziona?

[Valenash]

chiedo scusa, ma allora, i primi sarebbero infiniti?

certo, qualcuno ha mai detto che i numeri primi sono in numero finito??

[matty96]

chiedo scusa, ma allora, i primi sarebbero infiniti?

Prova a dare una dimostrazione di questo fatto e supponi che siano finiti.Vedrai che arriverai ad un assurdo (Ovviamente questa dimostrazione c'è in tutti i libri di tdn e anche su internet, ma non è difficile, quindi puoi provarci)

[ileo83]

a dici che poi non avresti come comporre altri numeri? qualora fossero in corrispondenza biunivoca con il sottoinsieme dei numeri naturali {1,2,...N}? cioe' in nr finito?

[Claudio.]

?

[Valenash]

chiedo scusa, ma allora, i primi sarebbero infiniti?

Prova a dare una dimostrazione di questo fatto e supponi che siano finiti.Vedrai che arriverai ad un assurdo (Ovviamente questa dimostrazione c'è in tutti i libri di tdn e anche su internet, ma non è difficile, quindi puoi provarci)

dato che mi sembri fuori strada, se vuoi ti piazzo un bell'hintone nascosto

Testo nascosto:

chiediti cosa puoi direi di $n! +1$