Un tetraedro che rotola

[paga92aren]

Se ho capito bene il terzo punto chiede di calcolare $\sum_{n=1}^{+\infty} np(n)$ dove $p(1)=0$ e $p(n)=\left( \frac{2}{3}\right)^{n-2}\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\left( \frac{2}{3}\right)^{n-1}$. Sostituisco e raccolgo: $\frac{1}{2}\sum_{n=2}^{+\infty} n\left( \frac{2}{3}\right)^{n-1} =\frac{1}{2}\left( \frac{1}{(1-\frac{2}{3})^2}-1\right) =4$
Spero di non aver sbagliato i conti e attendo conferma del risultato.

Edit: come previsto ho sbagliato qualche conto...

[Citrullo]

$ \frac{3}{4}\sum_{n=2}^{+\infty} n\left( \frac{2}{3}\right)^n =\frac{3}{4}\left( \frac{1}{(1-\frac{2}{3})^2}-\frac{2}{3}\right) $

Sei sicuro di questo passaggio?

Comunque il problema non era la sommatoria ma capire cosa essa significa..

[sasha™]

Occhio che la traccia ti dice che quella è la somma di $nx^{n-1}$.

[paga92aren]

Grazie, ho editato

[Citrullo]

$ \frac{1}{2}\sum_{n=2}^{+\infty} n\left( \frac{2}{3}\right)^{n-1} =\frac{1}{2}\left( \frac{1}{(1-\frac{2}{3})^2}-\frac{2}{3}\right) $

Io sono daccordo fino a qui ma questa ugualianza non mi convince: per far partire la somma da 1 invece che da 2 devo togliere l'addendo che ottengo con $ n=1 $ ovvero $ 1*(\frac{2}{3})^0=1 $ quindi a me verrebbe
$ \frac{1}{2}\sum_{n=2}^{+\infty} n\left( \frac{2}{3}\right)^{n-1} =\frac{1}{2}\left( \frac{1}{(1-\frac{2}{3})^2}-1 \right) = 4 $

Concordi con me?

E forse ho capito anche il significato della sommatoria: il numero medio di lanci è dato da $ \frac{ \text{somma tempi di uscita}}{\text{numero di rotolamenti}}= \frac{ \text{1*(numero di uscite al primo)+2*(numero di uscite al secondo)+...}}{\text{numero di rotolamenti}}= $

$ = 1* \frac{ \text{numero di uscite al primo}}{\text{numero di rotolamenti}}+2*\frac{ \text{numero di uscite al secondo}}{\text{numero di rotolamenti}}+... = \sum_{n=1}^{+\infty} np_n $ indicando con $ p_n $ la probabilità che ottenga la faccia desiderata all' ennesimo rotolamento.

Mi rendo conto che non si capirà nulla, ma se qualcuno capisce questa strana lingua che mi sono inventato mi dica se è giusto il ragionamento!