Vera o falsa?
Vera o falsa?
Provare o falsificare: $ x $ e $ y $ numeri reali, se $ y>0 $ e $ y(y+1) \leq (x+1)^2 $ allora $ y(y-1)\leq x^2 $
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: Vera o falsa?
Bon, mi sembra molto scolastica come soluzione, vediamo...
affinchè $y$ soddisfi la prima condizione, ovvero che $y(y+1) \leq (x+1)^2$ si deve avere che $\displaystyle \frac{-1-\sqrt{1+4(x+1)^2}}{2} \leq y \leq \frac{-1+\sqrt{1+4(x+1)^2}}{2}$
Affinchè invece $y$ soddisfi la seconda condizione, ovvero che $y(y-1) \leq x^2$, si deve avere che $\displaystyle \frac{1-\sqrt{1+4x^2}}{2} \leq y \leq \frac{1+\sqrt{1+4x^2}}{2}$.
Sono facili le disequazioni da risolvere affinchè si arrivi a dimostrare che
$$\displaystyle \frac{-1-\sqrt{1+4(x+1)^2}}{2} \leq \frac{1-\sqrt{1+4x^2}}{2} \leq 0 \leq y \leq \frac{-1+\sqrt{1+4(x+1)^2}}{2} \leq \frac{1+\sqrt{1+4x^2}}{2} $$
Siccome si deve avere che $y>0$ per ipotesi, si ha che la prima condizione è soddisfatta da ogni elemento dell'insieme
$$\displaystyle S_1:=\{y:y \leq \frac{-1+\sqrt{1+4(x+1)^2}}{2}, y \in \mathbb{R}^+\}$$
e che la seconda condizione è soddisfatta invece da ogni elemento dell'insieme
$$\displaystyle S_2 := \{ y: y \leq \frac{1+\sqrt{1+4x^2}}{2}, y \in \mathbb{R}^+\}$$.
Siccome si ha che $S_1 \cap S_2 = S_1$, la prima condizione implica la seconda.
Sperando di non avere fatto errori idioti...
affinchè $y$ soddisfi la prima condizione, ovvero che $y(y+1) \leq (x+1)^2$ si deve avere che $\displaystyle \frac{-1-\sqrt{1+4(x+1)^2}}{2} \leq y \leq \frac{-1+\sqrt{1+4(x+1)^2}}{2}$
Affinchè invece $y$ soddisfi la seconda condizione, ovvero che $y(y-1) \leq x^2$, si deve avere che $\displaystyle \frac{1-\sqrt{1+4x^2}}{2} \leq y \leq \frac{1+\sqrt{1+4x^2}}{2}$.
Sono facili le disequazioni da risolvere affinchè si arrivi a dimostrare che
$$\displaystyle \frac{-1-\sqrt{1+4(x+1)^2}}{2} \leq \frac{1-\sqrt{1+4x^2}}{2} \leq 0 \leq y \leq \frac{-1+\sqrt{1+4(x+1)^2}}{2} \leq \frac{1+\sqrt{1+4x^2}}{2} $$
Siccome si deve avere che $y>0$ per ipotesi, si ha che la prima condizione è soddisfatta da ogni elemento dell'insieme
$$\displaystyle S_1:=\{y:y \leq \frac{-1+\sqrt{1+4(x+1)^2}}{2}, y \in \mathbb{R}^+\}$$
e che la seconda condizione è soddisfatta invece da ogni elemento dell'insieme
$$\displaystyle S_2 := \{ y: y \leq \frac{1+\sqrt{1+4x^2}}{2}, y \in \mathbb{R}^+\}$$.
Siccome si ha che $S_1 \cap S_2 = S_1$, la prima condizione implica la seconda.
Sperando di non avere fatto errori idioti...
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
Re: Vera o falsa?
Va bene, però potevi scrivere come la risolvevi l'unica disuguaglinaza che alla fin fine c'era nell'esercizio xD in ogni caso è corretta.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.