Parallelogramma
Parallelogramma
Dato un parallelogramma ABCD e tracciata la diagonale BD, si prendano due punti S e T rispettivamente su CD e BC tali che BDST sia ciclico. Detto O il punto d'incontro delle diagonali di BDST, dimostrare che gli angoli AOB e COD sono supplementari.
Re: Parallelogramma
Voglio mostrare che $\angle COT=\angle AOB$. Dimostro che $AOB$ e $COT$ sono simili. Innanzitutto $\angle ABO = \angle ABD+\angle DBO= \angle BDS+\angle DBS= \pi-\angle DSB=\pi-\angle DTB=\angle OTC$. Basta mostrare
$\dfrac{AB}{BO}=\dfrac{CT}{OT} \Leftrightarrow \dfrac{CD}{BO}=\dfrac{CT}{OT} \Leftrightarrow \dfrac{CD}{CT}=\dfrac{BO}{OT} \Leftrightarrow \dfrac{\sin\angle DTC}{\sin\angle TDC}=\dfrac{\sin\angle DTB}{\sin\angle TBS}$
E l'ultima è vera perché i seni al numeratore e al denominatore sono uguali vista la ciclicità di $BDST$.
$\dfrac{AB}{BO}=\dfrac{CT}{OT} \Leftrightarrow \dfrac{CD}{BO}=\dfrac{CT}{OT} \Leftrightarrow \dfrac{CD}{CT}=\dfrac{BO}{OT} \Leftrightarrow \dfrac{\sin\angle DTC}{\sin\angle TDC}=\dfrac{\sin\angle DTB}{\sin\angle TBS}$
E l'ultima è vera perché i seni al numeratore e al denominatore sono uguali vista la ciclicità di $BDST$.
"Il bon ton è la grazia del saper vivere, la leggerezza dell' esistere." (Lina Sotis, perfidamente elegante)
Re: Parallelogramma
Piazzo un'altra soluzione con qualche rilancio per chi vuole.
Dimentichiamoci dei punti S e T, quello che ci importa è che $\angle CBO=\angle ODC$, perché quel quadrilatero era ciclico, o analogamente $\angle OBA=\angle ADO$. Siano $r$ e $s$ le parallele per $O$ a $AB$ e $BC$ rispettivamente, e sia $E=s\cap AB$, $F=r\cap BC$, $G=s\cap CD$ e $H=r\cap DA$. I triangoli $BFO$ e $DGO$ sono simili perché $\angle FBO=\angle ODG$ e $\angle BFO=\angle OGD$, da cui anche i loro "doppi", ovvero i parallelogrammi $BFOE$ e $DGOH$ sono simili. In definitiva si ha $OG\cdot OE=OF\cdot OH$, ovvero $EFGH$ è ciclico.
I triangoli $HOE$ e $GOF$ sono simili perché hanno lo stesso angolo in $O$ e $HO/OE=GO/OF$, dunque sono simili anche i parallelogrammi $HOEA$ e $GOFC$, da cui sono simili i triangoli $OAE$ e $OCF$, dunque $\angle OAB=\angle OCB$. A questo punto possiamo scrivere $\angle DOC+\angle BOA=2\pi -\angle ODC-\angle OCD-\angle OAB-\angle OBA=2\pi -\angle OBC-\angle OAD-\angle OCB-\angle ODA=\angle DOA +\angle BOC$ e poiché $\angle DOC+\angle BOA+\angle DOA +\angle BOC=2\pi$ deve essere $\angle DOA +\angle BOC=\angle DOC+\angle BOA=\pi$.
Volevo far notare che O ha le seguenti caratteristiche equivalenti, che in parte ho dimostrato essere equivalenti, in parte lascio a voi:
1)$\angle CBO=\angle ODC$;
2)$\angle OAB=\angle OCB$;
3)$OG\cdot OE=OF\cdot OH$ con EFGH opportunamente definiti;
4)$\angle BOA=\angle COD$;
5)$OC\cdot OA+OB\cdot OD=AB\cdot BC$ (purché O sia interno ad ABCD, sennò occorre cambiare qualche segno);
6)$O$ appartiene all'iperbole equilatera che ha come centro il punto medio delle diagonali di $ABCD$, asintoti paralleli alle bisettrici degli angoli di $ABCD$ e che passa per $A,B,C,D$.
Dimentichiamoci dei punti S e T, quello che ci importa è che $\angle CBO=\angle ODC$, perché quel quadrilatero era ciclico, o analogamente $\angle OBA=\angle ADO$. Siano $r$ e $s$ le parallele per $O$ a $AB$ e $BC$ rispettivamente, e sia $E=s\cap AB$, $F=r\cap BC$, $G=s\cap CD$ e $H=r\cap DA$. I triangoli $BFO$ e $DGO$ sono simili perché $\angle FBO=\angle ODG$ e $\angle BFO=\angle OGD$, da cui anche i loro "doppi", ovvero i parallelogrammi $BFOE$ e $DGOH$ sono simili. In definitiva si ha $OG\cdot OE=OF\cdot OH$, ovvero $EFGH$ è ciclico.
I triangoli $HOE$ e $GOF$ sono simili perché hanno lo stesso angolo in $O$ e $HO/OE=GO/OF$, dunque sono simili anche i parallelogrammi $HOEA$ e $GOFC$, da cui sono simili i triangoli $OAE$ e $OCF$, dunque $\angle OAB=\angle OCB$. A questo punto possiamo scrivere $\angle DOC+\angle BOA=2\pi -\angle ODC-\angle OCD-\angle OAB-\angle OBA=2\pi -\angle OBC-\angle OAD-\angle OCB-\angle ODA=\angle DOA +\angle BOC$ e poiché $\angle DOC+\angle BOA+\angle DOA +\angle BOC=2\pi$ deve essere $\angle DOA +\angle BOC=\angle DOC+\angle BOA=\pi$.
Volevo far notare che O ha le seguenti caratteristiche equivalenti, che in parte ho dimostrato essere equivalenti, in parte lascio a voi:
1)$\angle CBO=\angle ODC$;
2)$\angle OAB=\angle OCB$;
3)$OG\cdot OE=OF\cdot OH$ con EFGH opportunamente definiti;
4)$\angle BOA=\angle COD$;
5)$OC\cdot OA+OB\cdot OD=AB\cdot BC$ (purché O sia interno ad ABCD, sennò occorre cambiare qualche segno);
6)$O$ appartiene all'iperbole equilatera che ha come centro il punto medio delle diagonali di $ABCD$, asintoti paralleli alle bisettrici degli angoli di $ABCD$ e che passa per $A,B,C,D$.
Sono il cuoco della nazionale!
Re: Parallelogramma
Ma sì dai, metto pure la mia tanto è veloce 
I quadrilateri $ABOD$ e $CSOT$ sono simili (tutti gli angoli congruenti), quindi anche $ABO$ e $CTO$ sono simili, quindi $\angle AOB=\angle COT=180°-\angle COD$ e quindi $\angle AOB+\angle COD=180°$.
La similitudine dei triangoli mi sembra evidente, comunque per dimostrarla basta osservare che $\frac{OB}{BD}=\frac{OT}{ST}$ e $\frac{BD}{AB}=\frac{ST}{TC}$ (e queste sono vere direttamente per angoli) e moltiplicare le due equazioni (insieme a $\angle ABO=\angle CTO$).
Domani penso ai bonus!
I quadrilateri $ABOD$ e $CSOT$ sono simili (tutti gli angoli congruenti), quindi anche $ABO$ e $CTO$ sono simili, quindi $\angle AOB=\angle COT=180°-\angle COD$ e quindi $\angle AOB+\angle COD=180°$.
La similitudine dei triangoli mi sembra evidente, comunque per dimostrarla basta osservare che $\frac{OB}{BD}=\frac{OT}{ST}$ e $\frac{BD}{AB}=\frac{ST}{TC}$ (e queste sono vere direttamente per angoli) e moltiplicare le due equazioni (insieme a $\angle ABO=\angle CTO$).
Domani penso ai bonus!