kalu ha scritto:quesito 1
$ \displaystyle \sqrt[3]{\left(\frac{r}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{r}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{h}{2}\right)} \le \sqrt{\frac{\left({\frac{r}{\sqrt{2}}}\right)^2+\left({\frac{r}{\sqrt{2}} }\right)^2+\left(\frac{h}{2}\right)^2 }{3}} $; ma $ \displaystyle r^2+ \frac{h^2}{4}=R^2 $, quindi $ \displaystyle V \le \frac{4 \pi R^3 }{\sqrt{27}} $. Si ha l'uguaglianza quando $ h=\sqrt{2}r $.
Mike ha scritto: Cercare il punto di quella curva più vicino equivale a cercare la più piccola circonferenza di centro (4,0), che abbia punti in comune con la nostra curva.
consideriamo pertanto un fascio di circonferenze di centro (4,0) e mettiamolo a sistema con la nostra buona curva.
$ y= \sqrt{x} $
$ x^2 +y^2 -8x + 16 = r^2 $
che, sostituendo la prima nella seconda, ci porta a
$ x^2 - 7x + 16 - r^2 = 0 $
A questo punto imponiamo che la circonferenza sia tangente (dimodoché abbia un solo punto in comune), eguagliando il delta a 0:
$ 49 - 64 + 4r^2 = 0 $
$ 4r^2 = 15 $
$ r^2 = \frac{15}{4} $
ora sostituiamo $ r^2 $ nell'equazione e troviamo la soluzione, che è il punto $ (\frac{7}{2}, \sqrt{\frac{7}{2}}) $
paga92aren ha scritto:Detto $h$ l'altezza del cono, $r$ il raggio di base, $l$ il lato e $R$ il raggio della sfera, si ha che:
1) $l^2=2Rh$
2) $r^2=l^2-h^2$
e sapendo che la superficie laterale è $S=\pi lr$ ottengo $S=\pi \sqrt{2Rh^2(2R-h)}$ e massimizzo $h^2(2R-h)=4\frac{h}{2}\frac{h}{2}(2R-h)\leq 4\left( \frac{\frac{h}{2}+\frac{h}{2}+(2R-h)}{3}\right)^3=\frac{32}{27}R^3$ con point of incident $h=\frac{4R}{3}$. Sapendo $S\leq \pi \sqrt{\frac{64}{27}R^4}=\frac{8}{9}\sqrt{3}R^2\pi$
Per avere sott'occhio tutte e tre le soluzioni. In effetti per il secondo esercizio, prendo un generico punto $A(x,\sqrt{x})$ sulla curva con $x\geq 0$. La distanza da $B(4,0)$ è $AB=\sqrt{(x-4)^2+x}=\sqrt{x^2-7x+16}$. Ora basta trovare il "punto più basso della parabola" con $x\geq 0$. L'ascissa del vertice è $\dfrac{7}{2} \geq 0$ e quindi è questo il minimo cercato.
Per il metodo usato nel terzo c'è una simpatica generalizzazione. Dati $n$ numeri reali positivi la cui somma è fissata, il prodotto $\displaystyle\prod_{i=1}^n x_i^{a_i}$, dove gli $a_i$ sono razionali positivi è massimo quando $\dfrac{x_i}{a_i}$ è costante per ogni $i$ (in altre parole sarebbe AM-GM pesata). In quel caso, infatti, il massimo si ha quando $\dfrac{h}{2} = 2R-h \Rightarrow h=\dfrac{4}{3} R$.
"Il bon ton è la grazia del saper vivere, la leggerezza dell' esistere." (Lina Sotis, perfidamente elegante)
). Scusa Mike per averti tolto il merito di aver risolto il 2 
Edito.
