Terne di interi

[razorbeard]

Trovare tutte le terna di numeri $m,n,p$ dove $p$ è primo e $m,n$ sono interi positivi tali che $p^n+144=m^2$

[xXStephXx]

Io trovo solo: $ (20,8,2) $, $ (20, 4, 4) $, $ (20, 2, 16) $, $ (20, 1, 256) $, $ (15,4,3) $, $ (15, 2, 9) $, $ (15, 1, 81) $, $ (13,2,5) $, $ (13, 1, 25) $.
Non vorrei aver fatto errori di trascrizione o averne tralasciata qualcuna.

Azz non avevo letto $ p $ primo.. Allora sono molte di meno..

$ (20,8,2) $, $ (15,4,3) $, $ (13,2,5) $

[razorbeard]

Forse ti sei confuso, $p$ deve essere primo, nella seconda, quarta e settima terna che hai scritto non ci sono primi...

[xXStephXx]

Ok, ho editato... xD Comunque il procedimento è stato (forse non tanto rigoroso)..

$ p^n = (m+12)(m-12) $.

Quindi devo trovare due potenze di un numero aventi $ 24 $ di differenza. Allora sono andato un po' per tentativi. Ho visto che $ 27-24 = 3 $, $ 32-24=8 $ e $ 25-24=1 $. Poi ho visto che per le potenze successive la differenza tra due potenze diventa maggiore di $ 24 $. (è da dimostrare?)

[razorbeard]

Forse non è il metodo migliore per risolvere la diofantea, però è esatto e comunque la tua affermazione andrebbe dimostrata,ma non è complicato,provaci .

[xXStephXx]

Ok, forse ho trovato un metodo più serio che però non riesco a concludere.

Se $ n $ è pari ho che $ n=2k $.

Quindi
$ 144 = (m+p^k)(m-p^k) $
Da qui, provando tutte le coppie moltiplicative di $ 144 $ posso avere la certezza che per $ n $ pari non ce ne siano altre.

Ora però devo dimostrare che $ n $ non può essere dispari.. (e non so come fare..)

Tornando alla dimostrazione precedente, che forse mi sembra più fattibile...
Se $ n \geq6 $, ho che la differenza tra la potenza di primo grado e quella di secondo grado è $ n^2-n $, ovvero $ n(n-1) $. Che come si può notare è maggiore di $ 24 $. Aumentando $ n $ la differenza cresce sempre di più. Infatti per $ (n+1)(n+1-1) > n(n-1) $. Quindi se già la differenza tra $ n^1 $ ed $ n^2 $ è maggiore di $ 24 $ per $ n \geq 6 $, a parità di $ n $ la differenza tra le potenze successive sarà ancora maggiore (le potenze crescono in progressione geometrica) e aumentando $ n $,

[Drago96]

Ho immediatamente che $p^n=(m+12)(m-12)$
essendo p primo devo avere necessariamente $m+12=p^x$ e $m-12=p^y$ con $x+y=n$.
Dunque $p^x-p^y=24$ e raccogliendo $p^y(p^{x-y}-1)=24$ ma gli unici divisori di 24 della forma $p^y$ sono 2,3,4,8. Bisogna anche ricordarsi di $y=0$. Provando tutti questi numeri ottengo le soluzioni $(p,n,m)=(3,4,15);(2,8,20);(5,2,13)$ che in base a quanto detto prima sono anche le uniche.

[xXStephXx]

E il modo ottimale per risolvere questa diofantea qual'è? Siccome voglio esercitarmi nei dimostrativi sono curioso.
Cioè, oltre a questa scomposizione si possono fare altre scomposizioni che con ragionamento diverso portino alla stessa soluzione?

[Drago96]

Non saprei... forse ci sono altri modi, ma sono più lenti.
ad esempio io ho provato diverse scomposizioni prima di avere l'illuminazione...
Sono arrivato a vedere un'AM-GM che però non ho approfondito, avendo trovato la strada...

L'unico modo per "vedere" l'equazione dall'ottica giusta è l'allenamento...