Quadrato della forma $2^m\cdot3^n+1$

[matty96]

Trovare gli $(m,n)\in \mathbb{N}^2$ tali che $2^m\cdot3^n+1$ è un quadrato perfetto

Io l'ho risolta con tre Pell, però voglio vedere se c'è un modo diverso.

NB: nei naturali si comprende anche lo 0

[exodd]

$ (x-1)(x+1)=2^m3^n $
caso m=0 x=2, n=1 (le uniche potenze di 3 a distanza 2 sono 1 e 3)
caso n=0 x=3, m=3 (le uniche potenze di 2 a distanza 2 sono 2 e 4)
dato che (x-1,x+1)=2 o 1, allora
caso x pari implica m=0
caso x dispari:

1) $ 2*3^n=x-1=x+1-2=2^{m-1}-2 $
m=1 implica x=0
$ 3^n=2^{m-2}-1 $
dato che due potenze sono consecutive solo se sono 8,9, allora
n=1 m=4 x=7
m=3 n=0

2) $ 2*3^n=x+1=x-1+2=2^{m-1}+2 $
m=1 implica x=2, impossibile, dato che siamo in caso x dispari
$ 3^n=2^{m-2}+1 $
idem come sopra
n=1 m=3 x=5
m=3 n=1 x=5

Come si chiama il cannone che ho usato?

[exodd]

per farlo senza quel cannone:

$ 3^n=2^{m-2}-1 $

modulo 3, scopriamo che m è pari, quindi
$ 3^n=(2^a-1)(2^a+1) $
e dato che le uniche potenze di 3 a distanza 2 sono 1 e 3, allora n=1, m=4, x=7

$ 3^n=2^{m−2}+1 $

m=3 dà soluzione n=1, x=5
per m>3, il modulo 4 ci dice che n è pari, quindi
$ (3^a-1)(3^a+1)=2^{m-2} $
le uniche potenze di 3 a distanza 2 sono 2 e 4, quindi m=5, n=2, x=17 (che prima avevo dimenticato XD)