Un'altra successione

[ale.G]

Determinare se il seguente enunciato è vero o falso:
"Per ogni successione $x_1,x_2,x_3...$ di numeri reali maggiori o uguali a zero esistono due successioni$a_1,a_2a_3...$ e $b_1,b_2,b_3...$ di numeri reali maggiori o uguali a zero tali che:

• $x_n=a_n+b_n$ per ogni $n$
• $a_1+a_2+...+a_n \le n$ per infiniti valori di $n$
• $b_1+b_2+...+b_n \le n$ per infiniti valori di $n$, eventualmente diversi dai precedenti"

[Tess]

È interessante notare che si può risolvere il problema con successioni strettamente maggiori di zero...

[exodd]

1)
$ a_1=x_1 $
$ b_1=0 $

2)
finchè $ a_1+..+a_n>n $
$ a_i=0 $
$ b_i=x_i $

3)
finchè$ b_1+b_2+..+b_n>n $
$ a_i=x_i $
$ b_i=0 $

4)
e così via...

[ale.G]

Perdona la mia ignoranza exodd,ma non ho ben capito i tuoi passaggi...li potresti spiegare un po' meglio?

[exodd]

1° Passo:
Poniamo a_1=x_1 e b_1=0, così b_1<1

2° passo:
poniamo b_2=0, e controlliamo se b_1+b_2<2
se sì, passiamo al 3° passo
altrimenti, poniamo b_3=0 e controlliamo se b_1+b_2+b_3<3
e così via, sino a quando b_1+b_2+..+b_n<n
di conseguenza, a_2=x_2 ... a_n=x_n

3° passo
stavolta facciamo la stessa cosa con gli a_i, ovvero (partendo da n+1) incominciamo a porli uguali a zero, sino a che la loro somma diventi minore della somma del numero degli elementi della successione..

4° passo
ripetiamo la stessa cosa con i b_i, con di nuovo con gli a_i, sino ad infinito