Tre esercizi

[xXStephXx]

1)
Stabilire per quali coppie di numeri primi (positivi) $ p,q $ il polinomio $ f(x)= x^2-(7q+1)x +2p $ ha due radici intere.
(Io credo che sia più di TdN che di Algebra, se ho sbagliato sezione fatemelo notare)...


2)
Stabilire quante sono le terne ordinate di numeri naturali $ (x,y,z) $ tali che $ 6x+10y+15z=2400 $



3)
Quali numeri naturali non possono essere ottenuti come differenza dei quadrati di due interi? Si dimostri la risposta fornita.

Intanto mettete le vostre soluzioni, perchè vorrei confrontarle con le mie..

[xXStephXx]

Già che c'ero ho aggiunto un terzo esercizio..

[Drago96]

1) chiamando $a,b$ le due soluzioni devo avere $ab=2p$ (1) e $a+b=-(7q+1)$ (2). Dalla (1) ricavo che ho le seguenti possibilità, dato che $p$ è primo: $(a,b)=(\pm 1,\pm 2p);(\pm 2, \pm p)$ e viceversa. Dalla (2) ho che entrambe le soluzioni sono negative. Quindi le sostituisco nella (1) : $2p+1=7q+1$ , da cui l'unica soluzione è $(p,q)=(7,2)$ ; secondo caso $p+2=7q+1\rightarrow p+1=7q$ con $p$ dispari c'è la soluzione $(13,2)$ , con q dispari non ce ne sono.
Le uniche soluzioni sono $(p,q)=(7,2);(13,2)$

[xXStephXx]

Occhio che $ a+b=-(-(7q+1)) $ Comunque poco importa.. alla fine ci torna lo stesso risultato.. Quindi un esercizio l'ho fatto giusto sicuramente.. bene..

[exodd]

1)
Stabilire per quali coppie di numeri primi (positivi) $ p,q $ il polinomio $ f(x)= x^2-(7q+1)x +2p $ ha due radici intere.

$ x^2-(7q+1)x +2p=(x-1)(x-2p) $ porta alla soluzione (2,7)
$ x^2-(7q+1)x +2p=(x-2)(x-p) $ porta a (2,13)

[Drago96]

2) Raccolgo: $3(2x+5z)=10(240-y)$ da qui $3\mid y\rightarrow y:=3y'$ Sostituisco nell'eq. iniziale e ho che $6x+30y'+15z=2400\rightarrow 2x+10y'+5z=800$ (1);
raccolgo di nuovo: $5(2y'+z)=2(400-x)\rightarrow 5\mid x\rightarrow x:=5x'$ . Sostituisco nella (1) : $10x'+10y'+5z=800\rightarrow 2x'+2y'+z=160$ (2) ;
Dunque $z$ deve essere pari $\rightarrow z:=2z'$ . Sostituisco nella (2) : $2x'+2y'+2z'=160\rightarrow x'+y'+z'=80$
Dato che $x,y,z$ dipendono solamente dal valore di $x',y',z'$ , mi basta trovare in quanti modi posso scegliere queste ultime tre variabili.
Il numero di soluzioni è quindi $\binom{83}{3}$ (se tra i naturali conti lo 0, ma non penso...)
Altrimenti... ci penso dopo che ora devo uscire!

[ale.G]

L'esercizio 1 è esatto ma nel 2 drago96 ha commesso un piccolo errore...
dopo che hai ricavato $x'+y'+z'=80$ la formula che devi applicare è $\displaystyle\binom{n+k-1}{k}$ da cui arrivi a $\displaystyle\binom{82}{2}$, non $\displaystyle\binom {83}{3}$ .
Per il 3° penso che questo post basta e avanza... viewtopic.php?f=15&t=15947&p=136945&hil ... ti#p136945

[Drago96]

Sì, scusate...
A dire il vero io non ho applicato la formula... ho fatto come qua!
Però mi devo essere convinto che i separatori erano 3...

Chiedo di nuovo se tra i naturali si comprende lo 0...

[ale.G]

In questo tipo di esercizi fra i naturali è praticamente sempre incluso lo 0...

[xXStephXx]

Numeri naturali = interi positivi + 0.

Ora bisogna immaginare di scomporre $ 80 $ in unità..
Dunque...
$ 1+1+1+1+...+1 | 1+1+1+1+...+1 | 1+1+1+1+...+1 $
Quindi bisogna anagrammare 82 elementi di cui due sono separatori e 80 le unità.
La formula è $ \binom{82}{2} $.

Ok sto a 2 esercizi esatti.. Quindi minimo 14 punti...

[Drago96]

Si possono scrivere tutti quelli della forma $n(n+2x)$ ...
Un po' troppo generica, forse...

Ma da dove arrivano? Cesenatico?

[xXStephXx]

No, provengono tutti dal test finale dello stage SPOR_basic del 2011. Che era a modello di Cesenatico, c'erano 6 dimostrativi con valutazione da 0 a 7 ciascuno.

Comunque la dimostrazione è troppo generica, prova magari a ragionare modulo 4.

[xXStephXx]

Ho appena ricevuto le soluzioni, dovrei aver fatto giusto l'1 il 4 il 5, il 2 l'ho svolto in modo diverso ma forse è corretto.
Comunque l'1 e il 2 che c'erano là non corrispondono all'1 e al 2 di questo thread (l'ordine non era quello).