Tre polinomi da tor vergata

[razorbeard]

1)Trovare quell’unico numero $\alpha$ che ha la seguente proprietà: non esiste alcun polinomio di terzo grado $p(x)$ tale che $p(31) =\alpha$ , $p(2) = 11$, $p(11) = 2$ e $p(52) = 2011$.
2)Sia $p(x)$ un polinomio di grado 2008 tale che $p(3) = p(4) = . . . = p(2010) = 7$, mentre $p(2011) =\displaystyle \frac{50}{7}$.Calcolare la somma dei coefficienti dei termini di $p(x)$.
3)Sia $p(x)$ un polinomio di grado 15 avente il coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1 e tale che $p(±k) = k^2$ per ogni $ k = 0, 1, . . . , 7$.
Dire quante sono le cifre della parte intera di $p(8) − p(−8)$.

[Karl Zsigmondy]

1) Si verifica facilmente che il polinomio è della forma: $ p(x)=(x-2)(x-11)(x-52)q(x)+x^2-14x+35 $ e dato che è di terzo grado ho che q(x) è costante quindi tale polinomio è della forma $ p(x)=k(x-2)(x-11)(x-52)+x^2-14x+35 $. Sostituendo x=31 ottengo che $ p(31)=562-12180k $ e l'equazione $ 562-12180k=\alpha $ ha soluzione $ k=\frac{562-\alpha}{12180} $. L'unico caso in cui il polinomio di terzo grado non esiste è per $ \alpha=562 $ perché in tal caso il polinomio sarebbe di secondo grado.
2) Si verifica facilmente che il polinomio è della forma:$ p(x)=k(x-3)\cdot(x-4)\cdot(...)\cdot(x-2010)+7 $. Quindi si ha che $ p(2011)=k\cdot2008!+7 $ e quindi se esso è uguale a $ \frac{50}{7} $ si ha che $ k=\frac{1}{7\cdot2008!} $. La somma dei coefficienti di p(x) è p(1), che è uguale a $ p(1)=\frac{2009!}{7\cdot2008!}+7=\frac{2009}{7}+7=287+7=294 $.
3) Si verifica facilmente che il polinomio è della forma: $ p(x)=(x-7)(x-6)\cdot...\cdot(x+6)(x+7)+x^2 $ perché è monico e per i suoi valori assunti in quei 15 punti (è di 15° grado). Quindi ho che $ p(8)=15! $ e $ p(-8)=-15! $ quindi $ p(8)-p(-8)=2\cdot15! $. Ora vediamo un po' quante cifre ha;$ 2\cdot10!=7200000 $ circa, mentre $ 11\cdot12\cdot13\cdot14\cdot15=360000 $ circa, quindi il loro prodotto è circa $ 7,2\cdot10^6\cdot3,6\cdot10^5=2,6*10^{12} $ quindi dovrebbe avere 13 cifre.

[razorbeard]

Nella gara di tor vergata i risultati sono di massimo 4 cifre, sei sicuro che il terzo sia esatto?

[Karl Zsigmondy]

Nella gara di tor vergata i risultati sono di massimo 4 cifre, sei sicuro che il terzo sia esatto?

Mi sono appena accorto che chiedeva il numero di cifre quindi mi sono corretto.

[razorbeard]

Solo una domanda...nel primo come hai fatto a trovare quell'equazione di secondo grado tale che con $p(2)$ fosse uguale a 11, con $p(11)$ fosse uguale a 2 e con $p(52)$ fosse uguale a 2011?

[xXStephXx]

Io avrei fatto un sistema a 3 incognite, dal momento che i coefficienti sono 3 è di secondo grado, ma come metodo mi sembra troppo scolastico xD

[Karl Zsigmondy]

Solo una domanda...nel primo come hai fatto a trovare quell'equazione di secondo grado tale che con $p(2)$ fosse uguale a 11, con $p(11)$ fosse uguale a 2 e con $p(52)$ fosse uguale a 2011?

Se p(2)=11 ho che il polinomio è della forma (x-2)q(x)+11, poi se p(11)=2 sostituendo ottengo 9q(11)+11=2 quindi q(11)=-1 da cui q(x) è della forma (x-11)r(x)-1 e sostituendo sopra ottengo (x-2)(x-11)r(x)+13-x... rifaccio lo stesso con 52 e ottengo quanto detto.