Altre coppie di primi

[razorbeard]

Trovare tutte le coppie $(p,q)$ di primi positivi tali che l'equazione:
$x^2-(6p-4q)x+3pq=0$ abbia due radici intere

[Strangeloop]

Mi vengono come uniche soluzioni 5 e 3 e 7 e 5. E' giusto?

[razorbeard]

I risultati non ce l'ho...ma potresti postare il procedimento? Magari poi lo verifichiamo insieme.

[xXStephXx]

Anche io ottengo $ (5,3), (7,5) $.

Ma il procedimento è lunghissimo, ho dovuto analizzare 8 casi distinti.

$ \alpha+\beta = 6p-4q $
$ \alpha\beta=3pq $

Ora le possibili fattorizzazioni di $ 3pq $ sono:

3pq | 1
-3pq |-1
3p |q
-3p |-q
3q |p
-3q |-p
pq | 3
-pq |-3

Uno dei due è $ \alpha $ e l'altro è $ \beta $.

Quindi adesso analizzo ogni caso..
1)
$ 6p-4q=3pq+1 $
$ 3p(2-q) = 4q+1 $
Qui si nota che LHS è minore o uguale a 0, mentre RHS è maggiore stretto di 0. (Nessuna soluzione).
2)
$ -3pq-1=6p-4q $
$ -3pq+4q = 6p+1 $
$ q(4-3p) = 6p+1 $
LHS minore di 0 e RHS maggiore di 0. (Anche qui nessuna soluzione).
3)
$ 3p+q =6p-4q $
$ 5q=3p $
p contiene il fattore 5 e q contiene il fattore 3, ma dato che sono primi non ne possono contenere altri.
Quindi il primo $ (p,q) $ è $ (5,3) $.

Ora non ho tempo per scrivere tutti gli altri casi.. ma andando avanti i ragionamenti da fare sono bene o male gli stessi.

[jordan]

Trovare tutte le coppie $(p,q)$ di primi positivi tali che l'equazione:
$x^2-(6p-4q)x+3pq=0$ abbia due radici intere

Siano $a,b\in \mathbb{Z}$ le due radici dell'equazione, allora: $ab=3pq, a+b=6p-4q\text{ } \vdots \text{ } 2$. Se fosse $2\mid a$, allora anche $2\mid b$ dal momento che $2\mid a+b$, per cui $4\mid ab=3pq \implies p=q=2$, ma la quadratica $x^2-4x+12=(x-2)^2+8$ non ha radici razionali. Abbiamo quindi che $2\nmid ab$. Dato che il problema e' simmetrico in $a,b$ possiamo supporre wlog $3\mid a$, e abbiamo 4 semplici casi da risolvere manualmente:
1. $(a,b)=(3,pq)$ allora $pq<3+pq=a+b=6p-4q<6p \implies q\in \{3,5\}$ ed entrambe portano a soluzioni $(p,q)\in \{(5,3), (23,5)\}$;
2. $(a,b)=(3p,q)$ allora $3p+q=a+b=6p-4q$ che porta alla soluzione $(p,q)=(5,3)$ già trovata al punto 1;
3. $(a,b)=(3q,p)$ allora $3q+p=a+b=6p-4q$ che porta alla terza e ultima soluzione $(p,q)=(7,5)$
4. $(a,b)=(3pq,1)$ allora $3pq-4<3pq+1=a+b=6p-4q<6p-4 \implies q<2$. []