Cesenatico 1992 - problema 6

[darkcrystal]

Confesso che sono confuso: prima di proseguire, ti chiederei di chiarirmi alcuni punti, e cioè - essenzialmente - cosa vogliano dire "divide" e "linearmente indipendenti", per te, nel post precedente.
E tra l'altro: "le" radici terze di un primo? L'unica reale e le due complesse? Ma qui abbiamo a che fare solo con la prima, o no?

Nel frattempo, invito tutti a cercare soluzioni a questo problema - anche su linee completamente diverse da quelle che si sono viste finora (ad esempio, si potrebbero considerare i polinomi che abbiano $ \sqrt[3]{a} $ come radice... quali conosciamo? Cosa si riesce a dire?)

[paga92aren]

Soluzione alternativa: $a+b=(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})$ sapendo che $\sqrt[3]{ab}$ è razionale allora anche $\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}$ è razionale. Scompongo $a-b=(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})$ il secondo termine è razionale quindi lo è anche il primo ($\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}$). La somma di due razionali è razionale quindi $(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})+(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})=2\sqrt[3]{a}$ da cui la tesi.

[Drago96]

Metto la mia soluzione a questo vecchio topic, perchè sto cercando di fare l'anno in questione...

Si ha che $\displaystyle\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}=\frac{m}{n}$ (1) con $m,n\in\mathbb{N}$.
Elevando al cubo e spostando si ottiene $3(\sqrt[3]{a^2b}+\sqrt[3]{ab^2})=\frac{m^3}{n^3} -a-b$.
Ovviamente il membro di destra è razionale, mentre il membro di sinistra lo è se e solo se lo è $\sqrt[3]{a^2b}+\sqrt[3]{ab^2}$ (2) .
Chiamiamo $d=MCD(a,b)$ e siano dunque $a=da_1$ e $b=db_1$ ; concentriamoci su (2): diventa $d\sqrt[3]{a_1^2b_1}+d\sqrt[3]{a_1b_1^2}$ .
Ora abbiamo due casi.
1) $a_1=a_2^3$ e $b_1=b_2^3$
Dunque la (1) diventa $\displaystyle{\sqrt[3]{d}(a_2+b_2)=\frac{m}{n}}$ . Ma razionale*irrazionale=irrazionale, dunque deve per forza essere $d=d_1^3$ .
Perciò si ha $a=(d_1a_2)^3$ e $b=(d_1b_2)^3$
2) $a_1$ e $b_1$ non sono cubi perfetti
Abbiamo che $MCD(a_1,b_1)=1$ , dunque $a$ e $b$ non hanno fattori comuni con cui formare una potenza terza, perciò $\sqrt[3]{a_1^2b_1}+\sqrt[3]{a_1b_1^2}$ è irrazionale, il che va contro l'ipotesi (1)

Dovrebbe andare, no?

[patatone]

apparte che per come hai diviso i casi uno potrebbe essere un cubo e l'altro no, ma poi ti falla completamente la parte fondamentale della dimostrazione, perchè non è assolutamente vero che una somma di irrazionali è sempre irrazionale
Prendi ad esempio $\sqrt 2$ e $4-\sqrt 2$