Il giardino di Sekante - Squadre 2007

[Drago96]

Il brillante Sekante ha un unico sogno: quando sarà Grandin si costruirà una magnifica reggia. Ha perfino già completato il progetto, deve solo decidere esattamente la forma del giardino: sa però che sarà triangolare, e che avrà un angolo di 30°, il lato opposto di 59 mat-ken e un altro lato di 95 mat-ken. Quanto vale il prodotto di tutti i possibili valori della lunghezza (in mat-ken) del terzo lato?

Io l'ho fatto in analitica (per quel poco che ne so), ma mi piacerebbe vedere una soluzione più olimpica...

Testo nascosto:

Siano A,B e C i vertici di questo triangolo; A=(0,0), AB=95, BC=59, BAC=30°.
Si ha dunque $\displaystyle{B=\left(\sqrt{3}\cdot\frac{95}{2},\frac{95}{2}\right)}$ .
Ora facciamo passare una circonferenza per quel punto di raggio 59, e vediamo dove interseca l'asse x.
$\displaystyle{\frac{3\cdot 95^2}{4}+y^2-95y+\frac{95^2}{4}=59^2\rightarrow y^2-95y+95^2-59^2=0}$ .
Il termine noto è il prodotto delle radici, che è quello che stiamo cercando. La risposta è dunque $95^2-59^2=5544$

[EvaristeG]

Hint:

Testo nascosto:

teorema di Carnot ... e poi non serve risolvere davvero l'equazione.