Diofantea Semplice (2)

[LeZ]

Trovare tutte le terne di interi positivi x,y,z tali che $ x^{3}-y^{3}=z^{2} $

[EvaristeG]

per evitarvi brutte sorprese...
$a,b$ qualsiasi, $c=a^3-b^3$
allora $c^4=c^3(a^3-b^3)=c^3a^3-c^3b^3$, quindi $(ac,bc,c^2)$ è una soluzione. e non so nemmeno se sono tutte (anzi, non lo sono, perché esistono soluzioni con $(x,y)=1$ e $z\neq1$, tipo $(37)^3-(-11)^3=228^2$)

[LeZ]

Molto interessante, a questo problema non avevo trovato dimostrazione o comunque coppie risolutive definite.

[EvaristeG]

ecco, allora per favore ora specifichi sotto ogni equazione che hai postato se la sai risolvere completamente o no...

[LeZ]

Ho notato che la formula che hai trovato funziona poco, dobbiamo generalizzare.
Ora scrivo nelle altre diofantee

[EvaristeG]

Cosa vuol dire funziona poco? se vuoi ti posto la descrizione completa delle soluzioni, ma magari qualcuno vuol fare il problema...

[LeZ]

Cosi rapidamente ho provato un paio di casi con la tua soluzione sarà l'orario e non riesco a fare i calcoli. Lascia pure che ci provino gli altri

[EvaristeG]

Scusa, ma te l'ho dimostrato sopra che è una soluzione:
supponi di aver preso due numeri a caso $a,b$
poni $c=a^3-b^3$ e hai
$$(ca)^3-(cb)^3=c^3(a^3-b^3)=c^3c=c^4=(c^2)^2$$
Quindi poni $x=ca$, $y=cb$, $z=c^2$.
E non sono le uniche, perché in tutte queste $(x,y)\geq \sqrt{|z|}$, mentre $x=4103$, $y=3671$, $z=140004$ è una soluzione con $(x,y)=1$ (provate per credere ).

[LeZ]

Anche $ x=8,y=7,z=13 $ è soluzione