Geometria al sapore di algebra

[53thebest]

Scusatemi per il triste titolo ma non sapevo cosa mettere , comunque:
Dato un segmento $AB$, un punto $M$ su $AB$ (appartenente al segmento) e $n$ punti $P_1, P_2, ..., P_n$, dimostrare che $\sum |MP_i| \leq max(\sum|AP_i|, \sum|BP_i|)$

[patatone]

ecco un modo molto brutale ma molto efficace (per ora non ne ho trovati altri):
prendiamo un riferimento cartesiano con A in (0,0) e B in (1,0). Il punto M ha coordinate (x,0) con x tra 0 e 1 e i punti $P_i$ hanno coordinate $(a_i,b_i)$.
Vogliamo dimostrare che la funzione
$\displaystyle \sum |MP_i|=\sum_{i=1}^n \sqrt{(x-a_i)^2+b_i^2}$ ha massimo in uno dei suoi estremi.
Ora, quand'è che una funzione in un intervallo ha sempre massimo in uno dei 2 estremi dell'intervallo? Risposta: di sicuro questo succede quando è convessa, quindi la nostra speranza è che sia convessa. Deriviamo 2 volte e troviamo:
$\displaystyle f^{II}(x)=\sum_{i=1}^n \frac{b_i^2}{[(x-a_i)^2+b_i^2]^{\frac 3 2}}\ge 0$
Quindi le nostre speranze non erano vane, la funzione è convessa e abbiamo finito

[Anér]

Un altro modo per vedere che $\sum |MP_i|$ come funzione di M è convessa è dimostrare che $|MP_i|$ è convessa (somma di funzioni convesse è convessa).
Questo è vero per la definizione di convessità: se, usando i vettori, $M=\lambda A+(1-\lambda )B$, con $\lambda$ compreso tra 0 e 1 (ovvero con M compreso tra A e B), allora deve valere
$\lambda |AP_i|+(1-\lambda)|BP_i|\geq |MP_i|$
D'altra parte è facile vedere che $|MB|=\lambda |AB|$ e $|AM|=(1-\lambda)|AB|$ da cui la disuguaglianza diventa
$\frac{|MB|}{|AB|}|AP_i|+\frac{|AM|}{|AB|}|BP_i|\geq |MP_i|$, che diventa
$|MB|\cdot |AP_i|+|AM|\cdot |BP_i|\geq |AB|\cdot |MP_i|$
e quest'ultima è vera perché altro non è che la disuguaglianza di Tolomeo applicata al quadrilatero $AMBP_i$.