Binomiali!

[Drago96]

Non mi pare che esista un topic del genere, quindi lo apro io...
Mettete qua tutte le identità / fatti curiosi sui binomiali che conoscete! (con dimostrazione, oppure lasciata come esercizio)

NOTA per i nuovi: $\displaystyle{\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}}$ e $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n$

Inizio io, partendo dai più noti

$\displaystyle{\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}}$
$\displaystyle{\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}}$
$\displaystyle{\binom{n}{k}=\frac n k \binom{n-1}{k-1}}$
$\displaystyle{\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}}$
$\displaystyle{\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}=2^n}$

[matty96]

NOTA per i nuovi: $\displaystyle{\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}}$ e $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n$

Questa non è la vera definizione in realtà $\displaystyle{\binom{n}{k}}=\frac{D_{n,k}}{P_k}$ che rappresentano al numeratore le disposizioni e al denominatore le permutazioni
Quindi anche quello è da dimostrare

[Drago96]

NOTA per i nuovi: $\displaystyle{\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}}$ e $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n$

Questa non è la vera definizione in realtà $\displaystyle{\binom{n}{k}}=\frac{D_{n,k}}{P_k}$ che rappresentano al numeratore le disposizioni e al denominatore le permutazioni
Quindi anche quello è da dimostrare

Vabbè, facciamo il solito discorso...
si devono scegliere k studenti in una classe di n; il primo lo posso scegliere in n modi, il secondo in n-1... il k-esimo in n-k+1 ; in totale $(n-k+1)!$
ma in questo modo ho contato tutte le permutazioni del k-etto; perciò divido per $k!$ ; poi moltiplico numeratore e denominatore per $(n-k)!$ e ho quello che ho detto...