I conti che fa Tess mi sembrano giusti, ma ad essere sbagliato è il teorema che vuole applicare:
Per farlo mi basta dimostrare che prese le matrici $ A,A_1,...,A_n $, che sono $ A $ la matrice principale del sistema, $ A_i $ le matrici associate alle variabili $ x_i $ (quelle ottenute sostituendo alla colonna $ i $ della matrice $ A $ la colonna dei termini noti), ho che i determinanti di tutte sono 0.
Ora, sembra che tu voglia applicare una variante di
Rouché-Capelli, ma in realtà non funziona perché dimostrando che i determinanti sono 0 dimostri che il rango delle matrici è $\leq n-1$, non $=n-1$. Potrebbe succedere che i ranghi della matrice del sistema e di quella aumentata siano per esempio $n-1$ e $n-2$, come nel controesempio di dario2994; quindi non sono uguali e i due sistemi non hanno soluzione. Per "aggiustare" questo ragionamento dovresti andare a guardarti i minori, ma sembra impossibile cavare qualcosa di buono perché i ranghi "veri" (cioè il numero di soluzioni) dipendono da come è fatto il grafo (cioè la matrice $A$).
Inoltre, per rendere più chiaro il tutto a chi legge il thread, sottolineo il fatto che state usando questo risultato:
sia $\ker A:=\{z : Az=0\}$ lo spazio delle soluzioni di quel sistema omogeneo (che è un sottospazio vettoriale), e sia $x_*$ una soluzione particolare del sistema $Ax=b$. Allora le soluzioni di $Ax=b$ sono tutti e soli i vettori che si scrivono nella forma $x_*+z$, con $z\in \ker A$. In particolare, è un traslato di $\ker A$ (sottospazio affine) e ha la stessa dimensione.
Questo si può interpretare come un enunciato sulla controimmagine della funzione $f(x)=Ax$: se chiamiamo $f^{-1}(b)$ l'insieme di tutti i vettori $x$ tali che $f(x)=b$, allora per ogni $b$ gli insiemi $f^{-1}(b)$ sono tutti uguali a meno di traslazione e sono tutti sottospazi affini isomorfi al sottospazio vettoriale $\ker(A)=f^{-1}(0)$. Questa è una situazione che ricapita spesso è che è bene avere chiara. Per esempio in tutti i problemi "di tipo lampadine", una delle idee base da capire per smontarli di algebra lineare è chiamare $f(x)=Ax$ l'applicazione che manda una configurazione degli interruttori $x$ nella corrispondente configurazione di lampadine $b=f(x)$. A questo punto questo risultato vi dice che ogni configurazione di lampadine ottenibile la ottenete in tanti modi diversi che differiscono tra loro per un oggetto nel kernel (cioè una delle possibili operazioni sugli interruttori che lascia invariata la configurazione delle lampadine). In particolare, questo vi permette di contare le possibili configurazioni di lampadine diverse ottenibili, in quanto
\[
\text{numero di punti nell'immagine di $f$}=\frac{\text{numero di punti nello spazio di partenza $\mathbb{F}^n$ (configurazioni di interruttori possibili)}}{\text{numero di punti in $f^{-1}(0)=\ker f$}}.
\]
Notate che sono tutte potenze di due, in quanto dimensioni di sottospazi vettoriali. Questa formula è vera più in generale (basta avere un omomorfismo tra due gruppi, cioè un oggetto che "rispetta l'addizione"). Si può anche andare oltre, e definire lo spazio "$\mathbb{F}^n \mod \ker A$" dei vettori nello spazio di partenza modulo un oggetto in $\ker A$, e dire che questo è isomorfo all'immagine. Questo è noto come
(primo) teorema di isomorfismo (ricordatevi di citare il nome o riscrivere l'enunciato se lo usate in una soluzione, non è un fatto banalissimo).
Una soddisfazione immensa averlo risolto 
E se proprio serve metterò hint tra un poco (anche se non sono un gran fan degli hints... soprattutto ora che sul forum vanno fortissimo 
)
