Dal buon vecchio Eulero
Re: Dal buon vecchio Eulero
No, non la posto perchè l'ho scritta solo sulla cronologia di msn che non mi permette di copincollare e almeno due persone intervenute in questo topic sanno risolverlo se ci si mettono seriamente, visto che certamente hanno già avuto occasione di vedere la stessa idea applicata su altri problemi
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
Re: Dal buon vecchio Eulero
Ho iniziato, ma mi sono piantato... 
Ora forse è meglio se smetto un po' e vado a farmi i compiti, magari ci penso domani nelle due ore buche, o all' "allenamento" pomeridiano...
Lemma sulla distanza di cubi: La differenza di due cubi non può mai essere 2.
Dimostrazione:
Supponiamo per assurdo $a^3-b^3=2$ con $a,b\in\mathbb{N_0}$ e $a>b$. Si osserva che hanno la stessa parità.
Scomponendo si ha $(a-b)(a^2+ab+b^2)=2$ ; ma 2 è primo, dunque uno dei due fattori è 2 e l'altro 1. Ma il fattore 2 arriva dalla differenza $a-b$ dunque su deve avere $a^2+ab+b^2=1$ , assurdo perchè ogni elemento è maggiore o uguale ad uno.
i) $x^2-y^3=1$
Dunque $y^3=(x+1)(x-1)$ . Ora, se x è pari, allora $MCD(x-1,x+1)=1$ , da cui entrambi i fattori devono essere dei cubi.
Ma per il lemma della distanza non ci possono essere due cubi con differenza 2.
Perciò x è dispari, da cui y pari. Sostiuiamo $y=2y_2$ e $x-1=2k$ . L'equazione diventa $2y_2^3=k(k+1)$
Essendo i due fattori coprimi, uno dei due è un cubo, e l'altro è il doppio di un cubo.
Dunque tutto sta nel risolvere $2a^3-b^3=1$ . Se $a=b$ allora arriviamo alla coppia (unica soluzione) $(x,y)=(3,2)$
E qua non riesco a continuare...
ii) $x^2-y^3=-1$
Da cui $x^2=(y-1)(y^2+y+1)$ .
Qua a dire il vero non ci ho provato seriamente... xD
Ora forse è meglio se smetto un po' e vado a farmi i compiti, magari ci penso domani nelle due ore buche, o all' "allenamento" pomeridiano...
Lemma sulla distanza di cubi: La differenza di due cubi non può mai essere 2.
Dimostrazione:
Supponiamo per assurdo $a^3-b^3=2$ con $a,b\in\mathbb{N_0}$ e $a>b$. Si osserva che hanno la stessa parità.
Scomponendo si ha $(a-b)(a^2+ab+b^2)=2$ ; ma 2 è primo, dunque uno dei due fattori è 2 e l'altro 1. Ma il fattore 2 arriva dalla differenza $a-b$ dunque su deve avere $a^2+ab+b^2=1$ , assurdo perchè ogni elemento è maggiore o uguale ad uno.
i) $x^2-y^3=1$
Dunque $y^3=(x+1)(x-1)$ . Ora, se x è pari, allora $MCD(x-1,x+1)=1$ , da cui entrambi i fattori devono essere dei cubi.
Ma per il lemma della distanza non ci possono essere due cubi con differenza 2.
Perciò x è dispari, da cui y pari. Sostiuiamo $y=2y_2$ e $x-1=2k$ . L'equazione diventa $2y_2^3=k(k+1)$
Essendo i due fattori coprimi, uno dei due è un cubo, e l'altro è il doppio di un cubo.
Dunque tutto sta nel risolvere $2a^3-b^3=1$ . Se $a=b$ allora arriviamo alla coppia (unica soluzione) $(x,y)=(3,2)$
E qua non riesco a continuare...
ii) $x^2-y^3=-1$
Da cui $x^2=(y-1)(y^2+y+1)$ .
Qua a dire il vero non ci ho provato seriamente... xD
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Dal buon vecchio Eulero
il punto i se lo picchi ancora un po' lo ammazzi definitivamente, sei arrivato quasi a conclusione come hai detto, tutto sta nel risolvere quell'ultima eq in a,b
il punto ii idem, devi solo provarci seriamente e vedi che ti viene
come hai detto, tutto sta nel risolvere quell'ultima eq in a,b il punto ii idem, devi solo provarci seriamente e vedi che ti viene
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
Re: Dal buon vecchio Eulero
HINT (per una soluzione di certo non da febbraio, come la mia)
Testo nascosto: