Diofantea Esponenziale

[LeZ]

Trovare tutte le soluzioni intere positive dell'equazione $ 91^x-2^y=89 $

P.S. E' inventata e non sono ancora riuscito a dimostrare che le soluzioni trovate siano le uniche quindi non fucilatemi XD

[Mist]

nessuna fucilazione perchè la soluzione c'è, ed è proprio adatta a quelli che fin da subito volendo imparare chissà quali tecniche si dimenticano di fare le cose più facili e immediate di fronte ad un problema

Scrivo questo prima che i nuovi cassino questo problema come un'altra "invenzione" senza soluzione XD Buon lavoro

[Drago96]

Boh, allora mi ci metto...

Da subito avevo scomposto come $91(91^{x-1}-1)=2(2^{y-1}-1)$ che può sembrare un buon inizio, dato che mi ricavo $y\equiv 1\pmod{39}$ (è giusto, vero? )
Poi, (non intendo offendere, eh) dati i "precedenti" dell'autore non ci ho pensato più di tanto...

Vedrò di portarmi avanti...

[LeZ]

LoL, dai forza voglio vedere belle soluzioni!

[Hawk]

Uso la fattorizzazione di Drago:
$ 91(91^{x-1}-1)=2(2^{y-1}-1) \Rightarrow 91|(2^{y-1}-1) $
Guardando le congruenze otteniamo:
$ \begin{cases} 2^{y-1}\equiv 1 \pmod {13} \\ 2^{y-1}\equiv 1 \pmod {7} \end{cases} $
Da cui otteniamo come soluzioni $ y=1,12k+1 $.
Sostituiamo nell'equazione iniziale ed otteniamo come soluzioni $ x=y=1 $.
Riscrivo l'equazione come:
$ 91(91^{x-1}-1)=2(2^{12k}-1) $
Provando i casi piccoli ottengo: $ (x,y)=(2,13) $. Mi date un hint per andare avanti (supponendo che quello fatto prima sia corretto)?

[Drago96]

$ 91|(2^{y-1}-1) $
Guardando le congruenze otteniamo:
$ \begin{cases} 2^{y-1}\equiv 1 \pmod {13} \\ 2^{y-1}\equiv 1 \pmod {7} \end{cases} $
Da cui otteniamo come soluzioni $ y=1,12k+1 $.

Ok le congruenze, ma da quelle io ho ottenuto $y\equiv 1\pmod{13}\rightarrow y=13k+1$ e $y\equiv 1\pmod{3}$ ...
non capisco da dove ricavi quel $12k+1$ ...

[LeZ]

Secondo me potreste lavorare col rapporto $ 91\over2 $ o col reciproco.

[Mist]

ok, la mia soluzione è segata, ma se qualcuno la cerca mi fa un favore

[stergiosss]

$ 91|(2^{y-1}-1) $
Guardando le congruenze otteniamo:
$ \begin{cases} 2^{y-1}\equiv 1 \pmod {13} \\ 2^{y-1}\equiv 1 \pmod {7} \end{cases} $
Da cui otteniamo come soluzioni $ y=1,12k+1 $.

Ok le congruenze, ma da quelle io ho ottenuto $y\equiv 1\pmod{13}\rightarrow y=13k+1$ e $y\equiv 1\pmod{3}$ ...
non capisco da dove ricavi quel $12k+1$ ...

No no, è giusto quello che ha scritto lui: $y \equiv 1 \pmod{12}$
Rifai meglio i conti. Se analizzi le potenze di 2 modulo un primo $p$ (in questo caso 13) il periodo non può essere uguale a $p$, ma invece è uguale a $p-1$ o un suo divisore (in questo caso è proprio $12=p-1$)

Anzi ti dirò di più. Visti i numeri in ballo sono interessanti le congruenze modulo parecchi primi (o potenze), e si trova facilmente che, esclusa la soluzione banale $(1, 1)$, dev'essere $y \equiv 13 \pmod{4620}$
Altrettanto facilmente, ma con qualche conto in più visti i moduli grandi ($101$ e $169$), si trova che $y \equiv 13 \pmod{300300}$

[FrancescoVeneziano]

Mhh, giusto per informarvi, io ho dimostrato che (1,1) e (2,13) sono le uniche soluzioni, ma non ho né una dimostrazione elementare, né una semi-elementare come per $x^2+7=2^n$ (ma non le ho neanche cercate).
Se vi dilettate col computer, io proverei modulo $7^3, 13^3, 23^2, 67^2, 89^2$.