Diofantea esponenziale non molto recente

[Karl Zsigmondy]

Trovare negli interi tutte le soluzioni di:
$ 28^x = 19^y + 87^z $

Giusto per ravvivare un minimo il forum. Comunque è fattibilissima.

[pepperoma]

Questa è la mia soluzione per $ x,y,z $ interi positivi.

Il caso $ x=1 $ si fa a mano ed è impossibile.
Per $ x>1 $, modulo 8 l'equazione diventa $ 0=3^y+(-1)^z $, che è possibile solamente per $ y $ pari e $ z $ dispari. Modulo 9 si ottiene inoltre $ 9| 87^z $, cioè $ z>1. $ A questo punto modulo 27 risulta $ 19^y=1 $, che equivale a $ 3|y. $ Modulo 19, invece, si ricava $ 9^x=11^z $, che è valida soltanto se $ 3|x $. Posto $ x=3a, y=3b $, l'equazione si trasforma in $ 28^{3a}-19^{3b}=87^z. $ Dato che $ y=3b $ e quindi $ b $ è pari e che $ 19^3=-1 (mod 7), $ modulo 7 si ha $ 3^z=-1. $ Questa congruenza è valida se e solo se $ 3|z $ e in tal caso si può scrivere $ z=3c. $ Il tutto diviene allora $ (28^a)^3=(19^b)^3+(87^c)^3, $ che è impossibile per Fermat.

[Karl Zsigmondy]

La soluzione va benissimo, è giusta. Però questo problema appartiene alla Longlist IMO del 1987, quindi è un po' barare l'uso di Fermat. Vediamo se qualcuno trova una soluzione che non passi per Fermat...

[pepperoma]

Comunque Fermat nel caso dei cubi era già stato dimostrato da molto e potrei dimostrarlo anch'io come lemma.

[Karl Zsigmondy]

Ok, comunque x, y, z sono interi non necessariamente positivi, anche se gli altri casi si escludono facilmente.