Quante sono le terne $(a; b; c)$ di numeri reali che verificano il seguente sistema?
$\displaystyle a^2+b^2+c^2=1$
$\displaystyle a^3+b^3+c^3=1$
Sistemino facile
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razorbeard
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Sistemino facile
E' un buon giorno... per morire
Re: Sistemino facile
Perchè in tdn? 
Se $a,b,c$ hanno tutti lo stesso segno allora falla. Wlog $c\leq 0$, allora $a^2+b^2=1-c^2\leq 1$ e $a^3+b^3=1-c^3\geq 1$, quindi $a^3+b^3\geq a^2+b^2$. Siccome le variabili sono di valore assoluto $\leq 1$ allora $a^3\leq a^2$ e cicliche, quindi $a^3+b^3\geq a^2+b^2$ ma sopra deve valere l'uguaglianza quindi $c=0$ e a questo punto diventa evidente che le uniche soluzioni sono $(1,0,0)$ e cicliche.
Se $a,b,c$ hanno tutti lo stesso segno allora falla. Wlog $c\leq 0$, allora $a^2+b^2=1-c^2\leq 1$ e $a^3+b^3=1-c^3\geq 1$, quindi $a^3+b^3\geq a^2+b^2$. Siccome le variabili sono di valore assoluto $\leq 1$ allora $a^3\leq a^2$ e cicliche, quindi $a^3+b^3\geq a^2+b^2$ ma sopra deve valere l'uguaglianza quindi $c=0$ e a questo punto diventa evidente che le uniche soluzioni sono $(1,0,0)$ e cicliche.