Il massimo di una funzione sui lati di un triangolo

[Mist]

Siano $x,y$ e $z$ i lati di un triangolo e sia

$$f(x,y,z)=\left| \frac{x-y}{x+y} +\frac{y-z}{y+z}+\frac{z-x}{z+x} \right|$$

Dimostrate che $f(x,y,z)< 1$, $\displaystyle f(x,y,z)<\ frac{1}{8}$ e trovare il massimo valore che può assumere $f$. I primi due sono abbordabili, il terzo fa schifo.

Buon lavoro

[spugna]

Per ora mi è venuto solo il primo punto, per gli altri ci penserò...
Poniamo per comodità $\dfrac{x-y}{x+y}=a$, $\dfrac{y-z}{y+z}=b$ e $\dfrac{z-x}{z+x}=c$; poichè per i lati di un triangolo sono accettabili solo valori positivi, avremo $x-y<x+y \Rightarrow a<1$ e $x-y>-x-y \Rightarrow a>-1$ (nel caso di un triangolo degenere, se un lato valesse $0$ si potrebbe avere l'uguaglianza, ma gli altri due dovrebbero di conseguenza essere uguali, e si nota facilmente che tutti i triangoli isosceli danno come risultato $0$); dunque abbiamo $|a|<1,|b|<1,|c|<1 \Rightarrow |abc|<1$
Se ora sommiamo le frazioni iniziali col classico metodo del denominatore comune notiamo che $a+b+c=-abc$, da cui segue $f(x,y,z)=|abc|<1$

[jordan]

Punto 2.
Siano $a,b,c>0$ tali che $x=a+b, y=b+c, z=c+a$, e wlog normalizziamo $a+b+c=1$.
Allora $\displaystyle f(x,y,z)=\left|\sum_{cyc}{\frac{a-b}{b+1}}\right|=\prod_{cyc}{\left|\frac{a-b}{b+1}\right|}=\prod_{cyc}{\left|\frac{a-b}{a+1}\right|}<\prod_{cyc}{\left|\frac{\frac{a}{2}+(\frac{a+b+c}{2})}{a+1}\right|}=\frac{1}{8}$. []

[dario2994]

Punto 2.
Siano $a,b,c>0$ tali che $x=a+b, y=b+c, z=c+a$, e wlog normalizziamo $a+b+c=1$.
Allora $\displaystyle f(x,y,z)=\left|\sum_{cyc}{\frac{a-b}{b+1}}\right|=\prod_{cyc}{\left|\frac{a-b}{b+1}\right|}=\prod_{cyc}{\left|\frac{a-b}{a+1}\right|}<\prod_{cyc}{\left|\frac{\frac{a}{2}+(\frac{a+b+c}{2})}{a+1}\right|}=\frac{1}{8}$. []

Non ho capito nulla

edit: dopo lunghe elucubrazioni ho capito tutto tranne il passaggio $<$ che ancora non riesco a spiegarmi

[jordan]

edit: dopo lunghe elucubrazioni ho capito tutto tranne il passaggio $<$ che ancora non riesco a spiegarmi

:O Non mi sembrava tanto complicato, specie per te; ad ogni modo $a-b<a+\frac{b+c}{2}=\frac{a}{2}+\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}(a+1)$.
Spero sia più chiaro

[dario2994]

edit: dopo lunghe elucubrazioni ho capito tutto tranne il passaggio $<$ che ancora non riesco a spiegarmi

:O Non mi sembrava tanto complicato, specie per te; ad ogni modo $a-b<a+\frac{b+c}{2}=\frac{a}{2}+\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}(a+1)$.
Spero sia più chiaro

Specie per me è più chiaro che hai sbagliato.
Dovresti mostrare |a-b|<|a+\frac{b+c}{2}|... che è falso
In generale quello che hai scritto è più una serie di indizi per arrivare alla dimostrazione che una dimostrazione. Non sto scherzando, ho impiegato di più a capire il tuo primo passaggio che a dimostrare di mio il punto 2 (e l'ho capito solo perchè la stessa cosa, una simile almeno, si fa nella mia dimostrazione). Non me ne frega nulla di essere puntigioso, e si sa, ma quella proprio non si capiva.

[jordan]

E quando uno ha ragione..

Ok, riprovo:

$\displaystyle f(x,y,z)=\left|\sum_{cyc}{\frac{x-y}{x+y}}\right|=\prod_{cyc}{\left|\frac{x-y}{x+y}\right|}<\prod_{cyc}{\frac{z}{x+y}}=\frac{1}{8}\prod_{cyc}{\left(\frac{\sqrt{xy}}{\frac{x+y}{2}}\right)}\le\frac{1}{8}$. []


Ps. La prima e' un'identità, la seconda e' la disuguaglianza triangolare, la terza e' am-gm..
Ps2. Riguardo il primo punto, avrai anche ragione che non l'ho spiegato (come non l'ho spiegato qui), ma e' solo un'identità, nel caso uno avesse dubbi prende carta e penna, li scrive per esteso e vede che sono la stessa cosa

[jordan]

Siano fissati $z_0\le y_0$ e sia $x$ il lato più lungo del triangolo (i.e. $y_0 \le x\le y_0+z_0$), allora $g(x):=f(x,y_0,z_0)$ risulta crescente in tale intervallo; infatti
$\displaystyle g'(x)=\frac{y_0-z_0}{y_0+z_0}\frac{\delta}{\delta x}\left(\frac{x-y_0}{x+y_0}\frac{x-z_0}{x+z_0}\right)=2 \frac{y_0^2-z_0^2}{(x+y_0)(x+z_0)}(x^2-y_0z_0)\ge 0$.
Significa che possiamo limitarci a massimizzare $f(y+z,y,z)=\displaystyle \frac{yz(y-z)}{(2y+z)(y+2z)(y+z)}$ (con $y> z>0$).
(Continuando a derivare possiamo trovare un punto stazionario con radicali più o meno orrendi, che immagino sia il massimo )

Nuovo bound: $f(x,y,z) < \frac{1}{16}$.

$f(x,y,z)\le f(y+z,y,z)=\displaystyle \frac{yz(y-z)}{(2y+z)(y+2z)(y+z)}\le \frac{yz(y-z)}{[(2y+z)(y+z)-yz-5z^2](y+2z)}=\frac{yz(y-z)}{[2(y-z)(y+2z)](y+2z)}$ $=\displaystyle \frac{1}{2}\frac{yz}{(y+2z)^2}<\frac{1}{16}$. []

[Mist]

(Continuando a derivare possiamo trovare un punto stazionario con radicali più o meno orrendi, che immagino sia il massimo )

Esatto, non è il massimo, ma è quello che chiede nel punto terzo l'engel E se qualcuno trova un modo decente per trovare bound ancora più bassi decenti, si faccia avanti

[fph]

Non ho seguito troppo attentamente tutta la discussione prima, ma una volta ridotti a quella cosa omogenea in due variabili, una variabile si può eliminare e il massimo si può scrivere esplicitamente come zero di un polinomio di quarto grado, no?