Uguaglianza di frazioni

[Mike]

Provare che, se

$ \displaystyle\frac{ac - b^2}{a-2b+c} = \frac{bd-c^2}{b - 2c+ d} $

allora ambedue le frazioni sono uguali a

$ \displaystyle\frac{ad-bc}{a-b-c+d} $

[Sonner]

Le variabili sono anche distinte vero? Se sì, ho una soluzione, altrimenti ho il controesempio (1,3,3,7)

[Mike]

E' vero, si suppone che b e c siano diversi.

[Sonner]

Allora la scrivo. Intanto $\frac{A}{B}=\frac{C}{D} \iff \frac{A+C}{B+D}=\frac{C}{D}$, quindi sommando le due frazioni ottengo che la tesi è equivalente a $b^2+c^2+ad-bc-ac-bd=0$. D'altra parte, se faccio denominatore comune nell'ipotesi e raccolgo decentemente (vi risparmio i conti che non presentano particolari difficoltà) trovo proprio $(b-c)(b^2+c^2+ad-ac-bd-bc)=0$.