Polinomi simili

[xXStephXx]

Diciamo che due polinomi a coefficienti interi $ p $ e $ q $ sono simili se hanno lo stesso grado e gli stessi
coefficienti a meno dell’ordine.
(a) Dimostrare che se $ p $ e $ q $ sono simili, allora $ p(2007) − q(2007) $ è un multiplo di $ 2 $.
(b) Esistono degli interi $ k >2 $ tali che, comunque siano dati due polinomi simili $ p $ e $ q $, $ p(2007)−q(2007) $è un multiplo di $ k $?

Questo scommetto che avrà vita breve...

[Drago96]

a) $2007\equiv 1\pmod 2\Rightarrow p(2007)\equiv p(1)\pmod 2 \ , \ q(2007)\equiv q(1)\pmod 2\Rightarrow p(2007)-q(2007)\equiv p(1)-q(1)\pmod 2$. Ma il valore di un polinomio in 1 è la somma dei coefficienti, e siccome $p(x)$ e $q(x)$ sono simili, allora $p(1)=q(1)\Rightarrow p(1)-q(1)=0$

Per il (b) direi i divisori di 2006, ma non sono sicuro che non ce ne siano altri...

[xXStephXx]

Esatto xD ed ha anche avuto vita breve come previsto!

[jordan]

Per il (b) direi i divisori di 2006, ma non sono sicuro che non ce ne siano altri...

Prova con p(x)=2x+1, q(x)=x+2

[Drago96]

Mi stavo incasinando per nulla...

Sia $d:d\mid 2006$; allora $2007\equiv 1\pmod d$. Dunque anche $p(2007)\equiv p(1)\pmod d$ e $q(2007)\equiv q(1)\pmod d$; ma $p(1)=q(1)$ perchè sono polinomi simili, dunque b) è verificata per tutti i $k$ divisori di 2006.

Ora, seguendo il consiglio di jordan, prendo $p(x)=2x+1$ e $q(x)=x+2$; dunque $d(x)=p(x)-q(x)=2x+1-(x+2)=x-1$. Sostituendo a $x$ 2007, si ottiene $d(2007)=2006$. Non ci possono essere altri $k$ al di fuori dei divisori di 2006, perchè questo sarebbe un controesempio, mentre la tesi chiede "per qualunque scelta"