Sia $ p(x) $ un polinomio di grado 2010. Qual è il massimo grado che può assumere il polinomio $ p(x-1)-3p(x)+3p(x+1)-p(x+2) $?
E' un problema di una gara di febbraio che non sono riuscito a risolvere, né a capire le soluzioni ufficiali.
Grado del polinomio
Grado del polinomio
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »
Re: Grado del polinomio
Devi guardare come diventano i coefficienti di ogni monomio.
Ad esempio il coeff. di $ x^{2010} $ diventa $ a_{2010}-3a_{2010}+3a_{2010}-a_{2010} $, che è 0, da cui si nota come il grado max non è 2010.
Per 2009 hai:$ a_{2009}-2010a_{2010}-3a_{2009}+3a_{2009}+3*2010a_{2010}-a_{2009}-2*2010a_{2010} $ che è ancora uguale a 0, da cui il grado minore di 2009.
Per 2008 è più lungo: $ (2010*2009/2)a_{2010}+2009a_{2009}+a_{2008}-3a_{2008}+3(2010*2009/2)a_{2010}-3*2009a_{2009}+3a_{2008}-4(2010*2009/2)a_{2010} $
$ +2*2009a_{2009}-a_{2008} $, che da ancora 0, da cui il grado è minore di 2008.
Facendo lo stesso con 2007 dovrebbe venirti diverso da 0, da cui il grado max è 2007.
Ad esempio il coeff. di $ x^{2010} $ diventa $ a_{2010}-3a_{2010}+3a_{2010}-a_{2010} $, che è 0, da cui si nota come il grado max non è 2010.
Per 2009 hai:$ a_{2009}-2010a_{2010}-3a_{2009}+3a_{2009}+3*2010a_{2010}-a_{2009}-2*2010a_{2010} $ che è ancora uguale a 0, da cui il grado minore di 2009.
Per 2008 è più lungo: $ (2010*2009/2)a_{2010}+2009a_{2009}+a_{2008}-3a_{2008}+3(2010*2009/2)a_{2010}-3*2009a_{2009}+3a_{2008}-4(2010*2009/2)a_{2010} $
$ +2*2009a_{2009}-a_{2008} $, che da ancora 0, da cui il grado è minore di 2008.
Facendo lo stesso con 2007 dovrebbe venirti diverso da 0, da cui il grado max è 2007.
Re: Grado del polinomio
il problema è semplice ed elementare, ma c'è un approccio più "sofisticato" (e che semplifica un po' di conti), che dà qualche spunto interessante, quindi riapro..
Testo nascosto:
Re: Grado del polinomio
Non so se ho capito..
$ q(x)=p(x+1)-p(x) $
In pratica se il grado di p(x) è 2010, il grado massimo di q(x) sarà 2009..
Poi..
$ a(x)=q(x+1)-q(x) $
Da cui ottengo che il massimo grado di a(x) scende nuovamente di 1, visto che è la stessa cosa di prima sarà 2008..
$ b(x)=a(x+1)-a(x) $
E qui per lo stesso motivo ottengo che il grado massimo di b(x) è 2007..
Poi riscrivendo b(x) ottengo il polinomio del problema originale.
$ q(x)=p(x+1)-p(x) $
In pratica se il grado di p(x) è 2010, il grado massimo di q(x) sarà 2009..
Poi..
$ a(x)=q(x+1)-q(x) $
Da cui ottengo che il massimo grado di a(x) scende nuovamente di 1, visto che è la stessa cosa di prima sarà 2008..
$ b(x)=a(x+1)-a(x) $
E qui per lo stesso motivo ottengo che il grado massimo di b(x) è 2007..
Poi riscrivendo b(x) ottengo il polinomio del problema originale.
Re: Grado del polinomio
c'è qualche sottigliezza, tipo: chi ti dice che un polinomio $p$ che massimizza il grado di $q$ riesca poi anche a massimizzare il grado di $a$? nel senso, magari tutti i polinomi $p$ che massimizzano $\deg q$ danno un polinomio $q(x) = p(x+1)-p(x)$ che non può massimizzare $\deg a$ (ma non è questo il caso: le condizioni si scrivono abbastanza semplicemente: però va detto).
bonus: qual è il massimo grado che può avere il polinomio $$\sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}p(x+k)$$ al variare tra tutti i polinomi di grado $d$? qual è la condizione perché il polinomio sia di grado massimo?
bonus: qual è il massimo grado che può avere il polinomio $$\sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}p(x+k)$$ al variare tra tutti i polinomi di grado $d$? qual è la condizione perché il polinomio sia di grado massimo?