Gara nazionale danese

[alunik]

Trovare tutte le coppie di numeri di due cifre tali che il loro prodotto divide il numero di quattro cifre formato scrivendo i due numeri attaccati (la cifra delle decine del primo numero diventa quella delle migliaia nel numero di quattro cifre e così via).

[Karl Zsigmondy]

Chiamo i numeri di due cifre a, b. Ho che $ ab \mid (100a+b) \rightarrow a \mid (100a+b) \rightarrow a \mid b $. Pongo quindi b=ka con k ovviamente intero. Pertanto ho che
$ ka^2 \mid (100+k)a \rightarrow ka \mid (100+k) \rightarrow k \mid (100+k) \rightarrow k \mid 100 $.
Dal momento che a è maggiore di 9 e b minore di 100, è necessario che k sia minore di 10, ma i divisori di 100 minori di 10 sono solo 1, 2, 4, 5.
Se k=1 ho che $ a^2 \mid 101a \rightarrow a \mid 101 $ che non è possibile poichè 101 è primo.
Se k=2 ho che a deve essere minore di 50. Ora $ 2a^2 \mid 102a \rightarrow a \mid 51 $ quindi a=17 e b=34.
Se k=4 ho che a deve essere minore di 25. Ora $ 4a^2 \mid 104a \rightarrow a \mid 26 $ quindi a=13 e b=52.
Se k=5 ho che a deve essere minore di 20. Ora $ 5a^2 \mid 105a \rightarrow a \mid 21 $, niente soluzioni.
Quindi le uniche due coppie che risolvono sono (17,34) e (13,52) e se si prova si vede che verificano.

[alunik]

Accidenti! Ho fatto tutto come te a parte il fatto che ho messo 51 primo, speriamo che non mi tolgano troppo, ero a un passo! Comunque sembra giusta

[Triarii]

Confermo, pure io ho trovato le stesse soluzioni di Karl

[alunik]

Danesi bastardi mi confondevano le idee con le loro traduzioni sbagliate, vabbé spero si passi anche con 4 su 5 o meno (qui non ci sono 3 stage come il senior e il winter e il preimo, ma solo uno dove selezionano la squadra olimpica, e non sono granché, alle ultime hanno preso un bronzo e una menzione).