Minimo numero di facce
Minimo numero di facce
Non sapevo se postarlo qui o in geometria...
In un poliedro convesso con m facce triangolari (e possibilmente altre facce di altra forma), esattamente 4 spigoli "confluiscono" in ogni vertice. Trovare il minimo valore possibile di m.
In un poliedro convesso con m facce triangolari (e possibilmente altre facce di altra forma), esattamente 4 spigoli "confluiscono" in ogni vertice. Trovare il minimo valore possibile di m.
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Re: Minimo numero di facce
$ m=8 $ considerando un ottaedro
Re: Minimo numero di facce
è un upper bound buttato lì a caso, o ci stai dicendo che secondo te quella soluzione?
nel secondo caso, una dimostrazione?
nel secondo caso, una dimostrazione?
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Re: Minimo numero di facce
è una soluzione buttata li dal momento che non mi sono venuti in mente altri solidi con tale proprietà... (ma sicuramente $ m=8 $ è migliorabile)ma_go ha scritto:è un upper bound buttato lì a caso, o ci stai dicendo che secondo te quella soluzione?
nel secondo caso, una dimostrazione?
Re: Minimo numero di facce
beh, almeno hai uppato il problema (e non ti dico neanche se si può fare di meglio ).
qualcuno rilancia (magari con dimostrazione)?
qualcuno rilancia (magari con dimostrazione)?
Re: Minimo numero di facce
Re-up! Hint:
Testo nascosto:
Re: Minimo numero di facce
E' da tempo che non mi loggo; comuqnue sì la soluzione è corretta! Magari ora scrivi una dimostrazione xD
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- Karl Zsigmondy
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Re: Minimo numero di facce
Metto la mia, allora, si ha che per la relazione di Eulero F+V-S=2.
Ora le facce sono m (triangolari) + k (non triangolari, che hanno in media j spigoli e j vertici ognuna, $ j \in \mathbb{Q} $)
I vertici sono $ \frac{3m+jk}{4} $ perché in ogni vertice confluiscono 4 spigoli.
Gli spigoli sono $ \frac{3m+jk}{2} $ perchè ogni spigolo è sempre condiviso da due facce.
Quindi ho che:
$ \frac{4(m+k)+(3m+jk)-2(3m+jk)}{4}=2 \ ; \ \frac{m+(4-j)k}{4}=2 \ ; \ m+(4-j)k=8 $
Ora ho che j>3 (le altre facce non sono triangolari) da cui 4-j<1 quindi , ma $ 4-j = \frac{8-m}{k} \rightarrow \frac{8-m}{k} < 1 \rightarrow m+k > 8 $
Quindi se ci sono facce non triangolari il numero totale delle facce è maggiore di 8.
Se invece le facce sono triangolari banalmente $ F=m \ ; \ V=\frac{3m}{4} \ ; \ \frac{3m}{2} \rightarrow m=8 $ e l'ottaedro è l'esempio che funziona per m=8.
Ora le facce sono m (triangolari) + k (non triangolari, che hanno in media j spigoli e j vertici ognuna, $ j \in \mathbb{Q} $)
I vertici sono $ \frac{3m+jk}{4} $ perché in ogni vertice confluiscono 4 spigoli.
Gli spigoli sono $ \frac{3m+jk}{2} $ perchè ogni spigolo è sempre condiviso da due facce.
Quindi ho che:
$ \frac{4(m+k)+(3m+jk)-2(3m+jk)}{4}=2 \ ; \ \frac{m+(4-j)k}{4}=2 \ ; \ m+(4-j)k=8 $
Ora ho che j>3 (le altre facce non sono triangolari) da cui 4-j<1 quindi , ma $ 4-j = \frac{8-m}{k} \rightarrow \frac{8-m}{k} < 1 \rightarrow m+k > 8 $
Quindi se ci sono facce non triangolari il numero totale delle facce è maggiore di 8.
Se invece le facce sono triangolari banalmente $ F=m \ ; \ V=\frac{3m}{4} \ ; \ \frac{3m}{2} \rightarrow m=8 $ e l'ottaedro è l'esempio che funziona per m=8.
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"Life is very short and there's no time for fussing and fighting, my friend!"
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Re: Minimo numero di facce
premetto che la soluzione è corretta, ed è esattamente quella che avevo in mente. premetto anche che probabilmente sarebbe una soluzione da 7 punti in un qualunque contest. tuttavia, se proprio vogliamo spaccare il capello (o qualcos'altro che comincia per 'c')...Karl Zsigmondy ha scritto:(...) k (non triangolari, che hanno in media j spigoli e j vertici ognuna, $ j \in \mathbb{Q} $)
I vertici sono $ \frac{3m+jk}{4} $ perché in ogni vertice confluiscono 4 spigoli.
Gli spigoli sono $ \frac{3m+jk}{2} $ perchè ogni spigolo è sempre condiviso da due facce.
(...)
a gusto personale (ma probabilmente anche altri gradirebbero), la quantità $j$ che hai definito non è proprio bellissima (né forse del tutto ineccepibile, da cui il "probabilmente" sopra). soprattutto considerando che puoi scrivere tutto in maniera molto pulita, chiamando $F_\ell$ il numero di facce con $\ell$ lati, e scrivendo $\sum \ell F_\ell$ e $\sum F_\ell$ ove necessario, al posto di $jk$ e $k$ rispettivamente.
mi rendo conto che a te (e molti altri) questa cosa può sembrare puntigliosa ed inutile, ma:
- non ti costa quasi nulla in termini di spazio;
- il "numero medio di spigoli per faccia" potrebbe non essere un concetto universalmente condiviso (anche se si capisce cosa vuoi dire).