Verso Thebault?

[bĕlcōlŏn]

L'obiettivo di questo thread è quello di dimostrare il teorema di Thebault
$\textbf{Teorema di Thebault}$: Sia $ABC$ un triangolo, $AP$ una sua ceviana. Sia $\omega_1$ la circonferenza tangente ai segmenti $AP$, $BP$ e alla circonferenza circoscritta $\omega$ di $ABC$, situata dalla stessa parte di $A$ rispetto a $BC$. Sia $\omega_2$ quella tangente a $AP$, $CP$ e $\omega$ sempre dalla stessa parte di $A$. Dimostrare che $O_1,I,O_2$ sono allineati, dove $O_1$ e $O_2$ sono i centri di $\omega_1$ e $\omega_2$ e $I$ è l'incentro di $ABC$.

Se volete un hint, sbirciate qui, è un lemma utile per una soluzione sintetica.

Testo nascosto:

$\textbf{Lemma }$: Sia $\omega$ una circonferenza. Sia $ABCD$ un quadrilatero inscritto in $\omega$ e sia $P$ l'intersezione delle diagonali $AC$ e $BD$. Sia $\omega'$ la circonferenza tangente internamente ad $\omega$ e ai due segmenti $AP$ e $BP$. Chiamiamo $E$ e $F$ i punti di tangenza di $\omega'$ con $AP$ e $PB$ rispettivamente. Dimostrare che $E$, $F$ e l'incentro di $ABC$ sono allineati.

[bĕlcōlŏn]

Visto l'enorme successo avuto, metto qualche hint

Testo nascosto:

Per fare l'hint che ho messo nel testo, scordatevi la tangente in $F$ e mostrare che, detto $I$ l'incentro di $ABC$, $EI \cap \omega' =F'$, si ha $BF'$ tangente a $\omega'$.

Testo nascosto:

1) Detta $T$ l'intersezione di $\omega'$ con $\omega$, allora $TBF'I$ è ciclico

Testo nascosto:

2) $TE\cap \omega =M$ e $TF' \cap \omega=M'$. Si ha che $EF' \parallel MM'$.

Gli ultimi due hint esplicitano una possibile strada da prendere per dimostrare il primo.

[dario2994]

Uso il lemma suggerito nel primo post E che soddisfazione il tutto E sicuro ci saranno un bordello di errori di lettere perchè il mio disegno aveva lettere diverse...

Lemma del vecchio: Enunciato e dimostrazione del lemma

Lemma del bambino Sia $\omega$ una circonferenza. Sia $ABDC$ un quadrilatero inscritto in $\omega$ e sia $P$ l'intersezione delle diagonali $AD$ e $BC$. Sia $\omega'$ la circonferenza tangente internamente ad $\omega$ e ai due segmenti $AP$ e $CP$. Chiamiamo $E$ e $F$ i punti di tangenza di $\omega'$ con $AP$ e $PC$ rispettivamente. Dimostrare che $E$, $F$ e l'incentro di $ABC$ sono allineati
Dimostrazione

Testo nascosto:

Userò la notazione solita riferendomi al triangolo $ABC$. Definisco $X$ il piede della bisettrice da $A$, $I$ l'incentro e $G$ il punto di tangenza di $\omega,\omega'$.
Applicando 2 volte il teorema della bisettrice arrivo a $\displaystyle \frac{AI}{IX}=\frac{b+c}a$. Inoltre banalmente $PE=PF$.
La tesi del lemma cioè $E,F,I$ allineati è equivalente per il teorema di menelao sul triangolo $APX$ a: $\frac{AE}{FX}=\frac{b+c}{a}$ (1) (da qui in poi me ne fregherò altamente dei problemi di configurazione e dei segmenti orientati).
Per costruzione vale $FX=CX-CF$ ma sempre per il teorema della bisettrice $CX=\frac{ab}{b+c}$ e sostituendo in (1) e facendo 2 conti ottengo che la tesi equivale a:
$AE+\frac{b+c}{a}CF=b$ (2)
Per il lemma del falco vale $\frac{AG}{AE}=\frac{CG}{CF}=k$. Moltiplico per $k$ la (2) e sostituisco ottenendo che la tesi equivale a:
$a\frac{AG}{b}+(b+c)\frac{CG}{b}=ak\iff a\frac{AG}{b}+c\frac{CG}{b}+CG=ak$ (3)
Ma per il teorema di Tolomeo applicato al quadrilatero $ABCG$ vale $a\frac{AG}{b}+c\frac{CG}{b}=GB$ quindi sostituisco nella 3 e arrivo al mitico:
$GB+CG=ak\iff GB+CG=kBF+kCF$
Che è vero riapplicando il lemma del falco!

E ora dimostro il teorema!
Definisco $X$ l'intersezione tra $BC$ e $O_1,O_2$, e rispettivamente $U,V$ le intersezioni di $\omega_1,\omega_2$ con BC.
Dato che sono bisettrici interne ed esterne dello stesso angolo vale $PO_1\perp PO_2$.
Quindi applicando il lemma del bambino vale $VI\parallel PO_1$ e anche $UI\parallel PO_2$. Banalmente vale anche $UO_1\parallel VO_2$.
Chiamo $I'$ l'intersezione tra $UI$ e $O_1O_2$. Voglio dimostrare $VI'\parallel PO_1$ da cui poi ricavo $I=I'$ e quindi la tesi per la definizione di $I'$.
Per Talete e i vari parallelismi enunciati vale $\frac{XU}{XP}=\frac{XI'}{XO_2}$ e anche $\frac{XV}{XU}=\frac{XO_2}{XO_1}$. Moltiplicando le 2 equazioni membro a membro ottengo:
$\frac{XV}{XP}=\frac{XI'}{XO_1}$
che per Talete implica la tesi

[bĕlcōlŏn]

Bene sono contento che qualcuno abbia rispolverato questo thread!
Ho iniziato a leggere la tua dimostrazione, ma non riesco a capire come vuoi applicare menelao ad $APX$, e soprattutto perché vale $FX=CX-CF$... forse mi perdo qualcosa o sono dei typo?

[dario2994]

Avevo praticamente invertito tutte le lettere possibili... ora spero si capisca... (ho corretto le lettere nel testo del lemma )

[bĕlcōlŏn]

Benissimo!! Perfetto! Tutto chiaro, bella la dimostrazione del lemma del bambino, e poi una volta mostrato quello la mia conclusione è simile alla tua... Si poteva, però, concludere in maniera diversa ricordando un teorema che dovresti conoscere moooolto bene xD Mai sentito il teorema di Pappo? http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Pappo