Aiutatemi, perché 'un gnena fo proprio!!
Circonferenze che si intersecano
Circonferenze che si intersecano
Due circonferenze si intersecano in A e B. Siano H, K i punti di tangenza nella tangente comune alle circonferenze. Dimostrare che la retta AB divide a metà il segmento HK.
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Re: Circonferenze che si intersecano
La retta $ AB $ è l'asse radicale di tali due circonferenzebalossino ha scritto:Due circonferenze si intersecano in A e B. Siano H, K i punti di tangenza nella tangente comune alle circonferenze. Dimostrare che la retta AB divide a metà il segmento HK.
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Testo nascosto:
$ HP^2=PK^2\Longrightarrow HP=PK $
"Problem solving can be learned only by solving problems"
Re: Circonferenze che si intersecano
Ingegnoso... avevo sentito parlare delle potenze, ma non le conoscevo abbastanza da risalire a questa dimostrazione.
Una osservazione: su questa base si può costruire la dimostrazione in modo che non implichi nozioni sulle potenze.
Sia P il punto di intersezione tra la retta AB e HK. Siano O il centro della circonferenza con H e O' di quella con K. Tracciamo OP e O'P intersecando le circonferenze in M, N rispettivamente. Sia OM=R, O'N=r, MP=d, NP=l e h, h' le distanze del punto medio di AB rispettivamente da B e da P. Grazie a Pitagora abbiamo R^2-h^2=R^2+2rd+d^2-h'^2 e la stessa relazione che si applica sostituendo r a R, l a d e h' a h. Dalle due infine ricaviamo d(d+2R)=l(l+2r). Prolungando PO e PO' intersechiamo nuovamente le circonferenze in X,Y. Per la similitudine dei triangoli PXH e PYK con PMH e PNK rispettivamente, si ha che HP e PK sono medi proporzionali di d con (d+2R) e l con (l+2r) rispettivamente. E per la relazione trovata prima, ciò implica che sono uguali.
Una osservazione: su questa base si può costruire la dimostrazione in modo che non implichi nozioni sulle potenze.
Sia P il punto di intersezione tra la retta AB e HK. Siano O il centro della circonferenza con H e O' di quella con K. Tracciamo OP e O'P intersecando le circonferenze in M, N rispettivamente. Sia OM=R, O'N=r, MP=d, NP=l e h, h' le distanze del punto medio di AB rispettivamente da B e da P. Grazie a Pitagora abbiamo R^2-h^2=R^2+2rd+d^2-h'^2 e la stessa relazione che si applica sostituendo r a R, l a d e h' a h. Dalle due infine ricaviamo d(d+2R)=l(l+2r). Prolungando PO e PO' intersechiamo nuovamente le circonferenze in X,Y. Per la similitudine dei triangoli PXH e PYK con PMH e PNK rispettivamente, si ha che HP e PK sono medi proporzionali di d con (d+2R) e l con (l+2r) rispettivamente. E per la relazione trovata prima, ciò implica che sono uguali.