Quadrati di coprimi

[Sonner]

a,b,c naturali con $(a,b)=(b,c)=(a,c)=1$. E' possibile che $b+c \mid a^2, a+c\mid b^2, a+b\mid c^2$? E se invece si ha solo $(a,b,c)=1$?

[kalu]

$ b+c \mid a^2 $; inoltre $ b+c \mid (b+c)(b+c+2a) $.
Sommando otteniamo che $ b+c \mid (a+b+c)^2 $.
$ (a+b+c)^2 $ è quindi multiplo di $ a+b $, $ b+c $ e $ c+a $; inoltre questi ultimi tre valori sono coprimi in quanto se un primo dividesse sia $ a+b $ che $ b+c $ (ad esempio) esso dovrebbe dividere anche rispettivamente $ c^2 $ e $ a^2 $, contraddicendo l'ipotesi $ (c, a)=1 $.
Allora $ (a+b)(b+c)(c+a) \mid (a+b+c)^2 $, ma $ (a+b+c)^2 \leq 3a^2+3b^2+3c^2<(a+b)(b+c)(c+a) $ (la prima disuguaglianza è semplicemente una QM-AM, la seconda è facilmente verificabile per ogni terna di coprimi diversa da (1, 1, 1), che d'altronde non soddisfa l'ipotesi).

E se invece si ha solo $ (a,b,c)=1 $?

$ (a, b, c)=1 \rightarrow (a, b)=(b, c)=(c, a)=1 $: se infatti due fra $ a $, $ b $ e $ c $ avessero un primo in comune, tale primo dovrebbe dividere anche il quadrato del terzo di essi.

[jordan]

.. ma $ (a+b+c)^2 \geq 3a^2+3b^2+3c^2>(a+b)(b+c)(c+a) $

Credo sia sbagliato qualche verso.. poi, la seconda come la giustifichi?

[kalu]

.. ma $ (a+b+c)^2 \geq 3a^2+3b^2+3c^2> (a+b)(b+c)(c+a) $

Credo sia sbagliato qualche verso.. poi, la seconda come la giustifichi?

Fra le infinite cose che ho ancora da imparare quella da imparare più in fretta è non fare mai le cose in fretta.
Ovviamente intendevo $ (a+b+c)^2 \leq 3a^2+3b^2+3c^2<(a+b)(b+c)(c+a) $
Per la seconda: Se $ a $, $ b $, $ c $ $ >1 $ si ha subito $ 3a^2+3b^2+3c^2 < (b+c)a^2+(c+a)b^2+(a+b)c^2<(a+b)(b+c)(c+a) $.
Se WLOG $ a=1 $ la condizione iniziale $ b+c \mid a^2 $ non è soddisfatta.
Ecco, così dovrebbe andare.