I primi della forma $a^2+2b^2$, con $b\neq 0$
I primi della forma $a^2+2b^2$, con $b\neq 0$
Sia dato un primo $p$ che divide $x^2+2y^2$ per qualche intero $x,y$, con $p \nmid y$. Mostrare che esistono interi $a,b$ tali che $p=a^2+2b^2$, con $b\neq 0$.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: I primi della forma $a^2+2b^2$, con $b\neq 0$
$ (\frac{x}{y})^2 \equiv -2 \mod{p} $. Sia $ \alpha $ tale che $ \alpha^2 \equiv -2 $: allora è sufficiente che $ x \equiv \alpha y $; e per il lemma di Thue tale equazione ha soluzione con $ x, y< \sqrt p $. Allora $ x^2+2y^2<3p $; se $ x^2+2y^2=p $ la tesi è soddisfatta, se invece $ x^2+2y^2=2p $ basta sostituire $ x $ con $ \frac{x}{2} $.
Pota gnari!
Re: I primi della forma $a^2+2b^2$, con $b\neq 0$
Giusto, ma ci spieghi meglio cos'è? Non penso che tutti lo conoscano..kalu ha scritto:.. e per il lemma di Thue ..
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Re: I primi della forma $a^2+2b^2$, con $b\neq 0$
Chiaramente è un fatto poco noto (io l'ho imparato per caso qualche giorno fa curiosando per wikipedia). Ero sul punto di linkare qualcosa che lo spiegasse bene, ma poi non l'ho fatto più perchè mi sono reso conto di quanto sia facile trovarlo su google. Comunque: http://it.wikipedia.org/wiki/Lemma_di_Thue. Forse non è fra i lemmi più utili di TdN, ma io l'ho trovato interessante 
Pota gnari!