$\mbox{p(estrarre due numeri con m.c.d. =1) = 1-p(estrarre due numeri con m.c.d diverso da 1)}= 1-\frac{\mbox{numero di coppie con m.c.d diverso da 1}}{\mbox{numero di coppie di numeri possibili}}$. Ora, $12! = 2^{10}\cdot 3^5\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11$ e quindi il numero di coppie possibili, siccome ogni soldato può scegliere tra tutti i divisori di $12!$, è pari a $(11\cdot 6\cdot 3\cdot 2 \cdot 2)^2$. Per calcolare il numero di coppie con m.c.d. diverso da 1, scelgo prima il fattore comune ai due soldati e poi guardo in quanti modi posso smistare i rimanenti fattori tra i due. Se voglio che, fissato l'm.c.d, i fattori primi distinti da smistare restino 5, allora posso scegliere l'm.c.d tra tutti i divisori di $2^9\cdot 3^4\cdot 5$ ovvero in $10\cdot 5\cdot 2$ modi e posso smistare i rimanenti $5$ fattori in $2^5$ modi. Quindi, in totale, il numero di coppie con $m.c.d$ diverso da $1$ tali che, fissato l'm.c.d., i fattori primi distinti rimanenti restino $5$ sono $10\cdot 5\cdot 2\cdot 2^5$. Se invece voglio che, scelto un $m.c.d$, restino $4$ fattori primi distinti da smistare tra i due soldati, devo scegliere uno dei primi che compongono la fattorizzazione di $12!$, escluderlo (ovvero assegnarlo ad entrambi i soldati col massimo esponente) e poi vedere in quanti modi posso aggiungere fattori al m.c.d. in modo che restino comunque $4$ fattori primi distinti da smistare tra i due soldati. Per esempio, come farò nella prima riga della tabella sotto, se assegno al $m.c.d$ il fattore $2$ col massimo esponente, posso assegnare altri fattori all'm.c.d. senza diminuire il numero di fattori primi distinti che mi restano da smistare tra i due soldati scegliendo tali fattori tra i divisori di $3^4\cdot 5$ ovvero $5\cdot 2$ Quindi faccio una tabella
$\matrix{ \mbox{Fattore che metto nell'm.c.d. col massimo esponente} & \mbox{No. di modi in cui posso aggiungere fattori al m.c.d. e smistare i rimanenti 4} \\2 & 5\cdot 2\cdot 2^4 \\ 3 & 10\cdot 2\cdot 2^4 \\ 5 & 10\cdot 5\cdot 2^4 \\ 7 & 10\cdot 5 \cdot 2 \cdot 2^4 \\ 11 & 10\cdot 5 \cdot 2 \cdot 2^4 }$
Ora, ripeto lo stesso ragionamento mettendo due fattori col massimo esponente nell'm.c.d e vedendo in quanti modi posso mettere fattori nell'm.c.d in modo che restino tre fattori primi distinti da smistare tra i due soldati. Ripetendo lo stesso ragionamento che ho fatto sopra (che se non hai capito ti rispiego volentieri
) per questo caso e il caso in cui voglia mettere quattro o tutti i fattori col massimo esponente nell'm.c.d., ottengo che i casi totali sono in tutto:$10\cdot 5\cdot 2\cdot 2^5+(5\cdot 2+10\cdot 2+10\cdot 5+ 10\cdot 5 \cdot 2+10\cdot 5 \cdot 2)\cdot 2^4+$
$+(2+5+5\cdot 2+5\cdot 2+10+10\cdot 2+10\cdot 2+10\cdot 5+10\cdot 5+10\cdot 5 \cdot 2)2^3+$
$(1+2+2+5+5+5\cdot 2+10+10+10\cdot 2+10\cdot 5)2^2 + (2+2+2+2+2)2^0 +1= 10367$.
D'altro canto i casi possibili sono, facendo il conto, $627264$. Si verifica che le prime quattro cifre decimali di $\displaystyle 1-\frac{10367}{627264}$ sono $9834$ che è appunto la soluzione del problema O.o ma senza calcolatrice io non sarei stato capace di fare il conto
Non so, sono stato chiaro ?
