POLAND '98

[pepperoma]

Siano D, E due punti sul lato AB di un triangolo ABC tali che $ \frac {AD}{DB} \cdot \frac {AE}{EB} = \left(\frac {AC}{CB} \right)^2 $. Dimostrare che gli angoli ACD e BCE sono uguali. E' vero il viceversa?

[Mist]

Giusto perchè stasera non ho niente di meglio da fare che scrivere sul forum...

Chiamo $\hat{DCA} = \alpha$, $\hat{BCE} = \beta$ e $\hat{BCA} = x$. Per il teorema del seno si ha che: $\displaystyle \frac{AD}{\sin{\alpha}} = \frac{DC}{\sin{\theta }}$, $\displaystyle \frac{DB}{\sin{(x-\alpha)}} = \frac{DC}{\sin{\gamma }}$, $\displaystyle \frac{AE}{\sin{(x-\beta)}} = \frac{EC}{\sin{\theta }}$, $\displaystyle \frac{EB}{\sin{\beta}} = \frac{EC}{\sin{\gamma }}$, $\displaystyle \frac{AC}{CB} = \frac{\sin{\gamma}}{\sin{\theta}}$. La tesi si riduce quindi a dimostrare che ( dopo le sostituzioni e i conti) che

$\displaystyle \frac{\sin{\alpha}\sin{(x-\beta )}}{\sin{\beta}\sin{(x-\alpha )}} = 1$ ovvero che $\displaystyle \frac{\sin{\alpha}(\sin{x}\cos{\beta}-\sin{\beta}\cos{x})}{\sin{\beta}(\sin{x}\cos{\alpha}-\sin{\alpha}\cos{x})} = 1$, $\sin{x}(\cos{\beta}\sin{\alpha}-\cos{\alpha}\sin{\beta}) = \sin{x}\sin{(\beta - \alpha )} = \cos{x}(\sin{\alpha}\sin{\beta}-\sin{\beta}\sin{\alpha}) = 0$ da cui consegue che $\alpha = \beta$, che è la tesi.