Cose da nabbi (moduli)

[Jona->PyLinX]

Come vi avevo preannunciato sono un nabbo nella teoria dei numeri, ho iniziato oggi a studiare le dispense olimpioniche linkatemi da Drago96 (che ringrazio).

Stavo facendo gli esercizi che ci sono in fondo e ce ne sono due che non mi tornano, qualcuno di voi può illustrarmi il procedimento per favore? Grazie...

Allora devo calcolare il modulo di:

35461^54593428 mod 11

tra le cose che ho finora studiato ho pensato alle operazioni ripetute, ma per trovare ogni quanto si ripete l'unico modo che conosco è calcolare il resto di al massimo 12 ripetizioni, ma data la grandezza del numero ci deve essere un altro metodo.

poi devo calcolare (353094232 mod 721)mod 9 e qui boh, ho provato a scomporre il 721 ma viene comunque (353094232 mod 7 * 353094232 mod 103) mod 9, che mi risulta comunque difficile

Mi date una mano? Grazie

[Drago96]

Allora devo calcolare il modulo di:

35461^54593428 mod 11

tra le cose che ho finora studiato ho pensato alle operazioni ripetute, ma per trovare ogni quanto si ripete l'unico modo che conosco è calcolare il resto di al massimo 12 ripetizioni, ma data la grandezza del numero ci deve essere un altro metodo.

E c'è...
L'elevamento a potenza è solo una moltiplicazione ripetuta, e come mi pare ci sia scritto, se devi calcolare $a\cdot b \mod x$, basta che fai prima il modulo di $a$, poi quello di $b$ e moltiplichi.
In questo caso calcoli $35461\mod11$ (che non è difficile, basta fare la somma delle cifre a segni alterni) e poi vedi come si ripetono le potenze del numero che ti viene modulo 11; conti quanto dura il "ciclo" e fai l'esponente modulo questo numero. A qusto punto non è poi troppo difficile fare il conto, spezzandolo.

Testo nascosto:

$\displaystyle35461^{54593428}\equiv(-3)^{54593428}\equiv(-3)^8\equiv 9^4\equiv(-2)^4\equiv16\equiv5 \pmod{11}$

poi devo calcolare (353094232 mod 721)mod 9 e qui boh, ho provato a scomporre il 721 ma viene comunque (353094232 mod 7 * 353094232 mod 103) mod 9, che mi risulta comunque difficile

Quello che hai fatto è sbagliato: non puoi spezzare il modulo; se devi calcolare mod $x$, calcoli mod $x$.
In questo caso, direi che l'unico metodo è la divisione euclidea...
Per il mod 9 finale, ti basta fare la somma delle cifre...

Testo nascosto:

$\displaystyle353094232\equiv344\pmod{721}$ e $\displaystyle344\equiv11\equiv2\pmod9$

[Jona->PyLinX]

Rimuginandoci ieri a cena alla prima c'ero arrivato. La seconda mi ero accorto di aver scomposto in un modo obrobrioso...Vabbè, era la prima volta che usavo il modulo. Devo guardarmi 'sta divisione euclidea

[Drago96]

Devo guardarmi 'sta divisione euclidea

E' semplicemente la divisione con resto...

Quella che afferma che per ogni coppia di interi $a,b$ esistono e sono unici $q,r$ tali che $a=b\cdot q+r$, con $0\leq r <| b|$

Detto banalmente: la divisione che facevi alle elementari

[Jona->PyLinX]

lol