Successioni e potenze

[zeitgeist505]

Si considerano le successioni della forma $ a+d,a+2d,a+3d+...+a+n*d $ che non contengano potenze seconde di numeri interi, ma potenze terze di questi.

Determinare la coppia $ (a,d) $, con $ a,d $ pari, di numeri naturali che soddisfino le condizioni, tali che sia minima la somma $ a+d $

[Drago96]

Si considerano le successioni della forma $ a+d,a+2d,a+3d+...+a+n*d $

Potresti spiegare com'è questa successione? Non vedo legami tra i primi due ed il terzo, a meno che tu non intendessi scrivere una progressione aritmetica e hai messo un paio di $+$ al posto di $,$
E poi non capisco se ha un limite o è infinita...

[jordan]

Si considerano le successioni della forma $ a+d,a+2d,a+3d+...+a+n*d $ che non contengano potenze seconde di numeri interi, ma potenze terze di questi.

Determinare la coppia $ (a,d) $, con $ a,d $ pari, di numeri naturali che soddisfino le condizioni, tali che sia minima la somma $ a+d $

Vediamo se ho capito:

Se fosse $\min\{a+d\}=4$ allora $a=d=2$, ma $2^2=a+d \in \{a+nd\}_{n \in \mathbb{N}_0}$, per cui $\min\{a+d\}\ge 6$

Se fosse $\min\{a+d\}=6$ allora $a=4, d=2$, ma $4^2=a+6d \in \{a+nd\}_{n \in \mathbb{N}_0}$ oppure $a=2, d=4$ da cui $a+nd=2(2n+1) \equiv 2 \pmod 4$ che non può essere potenza di qualunque numero.

Ed effettivamente $\min\{a+d\}=8$, scegliendo $a=2, d=6$, infatti $a+nd=2(3n+1)$. Se fosse un quadrato per qualche $n$ allora esiste un intero $m$ tale che $n=2m+1$, cosicchè $a+nd=4(3m+2) \equiv 2 \pmod 3$, che non e' mai un quadrato. Verifichiamo che esiste un $m$ tale che $4(3m+2)$ sia un cubo: deve esistere un intero $p$ tale che $m=2p$, da cui $a+nd=2^3(3p+1)$. La questione si riduce quindi all'esistenza di cubi con residuo 1 modulo 3 (e' sufficiente scegliere $4^3$)..

[zeitgeist505]

Si considerano le successioni della forma $ a+d,a+2d,a+3d+...+a+n*d $

Potresti spiegare com'è questa successione? Non vedo legami tra i primi due ed il terzo, a meno che tu non intendessi scrivere una progressione aritmetica e hai messo un paio di $+$ al posto di $,$
E poi non capisco se ha un limite o è infinita...

Scusate l'errore di battitura ma è una banale progressione aritmetica; poichè la condizione deve soddisfare ogni $ n $, $ a+d,a+2d,a+3d , [...] ,a+d*n $ possiamo considerarla infinita (ho ancora problemi con il linguaggio del forum )

[zeitgeist505]

Si considerano le successioni della forma $ a+d,a+2d,a+3d+...+a+n*d $ che non contengano potenze seconde di numeri interi, ma potenze terze di questi.

Determinare la coppia $ (a,d) $, con $ a,d $ pari, di numeri naturali che soddisfino le condizioni, tali che sia minima la somma $ a+d $

Vediamo se ho capito:

Se fosse $\min\{a+d\}=4$ allora $a=d=2$, ma $2^2=a+d \in \{a+nd\}_{n \in \mathbb{N}_0}$, per cui $\min\{a+d\}\ge 6$

Se fosse $\min\{a+d\}=6$ allora $a=4, d=2$, ma $4^2=a+6d \in \{a+nd\}_{n \in \mathbb{N}_0}$ oppure $a=2, d=4$ da cui $a+nd=2(2n+1) \equiv 2 \pmod 4$ che non può essere potenza di qualunque numero.

Ed effettivamente $\min\{a+d\}=8$, scegliendo $a=2, d=6$, infatti $a+nd=2(3n+1)$. Se fosse un quadrato per qualche $n$ allora esiste un intero $m$ tale che $n=2m+1$, cosicchè $a+nd=4(3m+2) \equiv 2 \pmod 3$, che non e' mai un quadrato. Verifichiamo che esiste un $m$ tale che $4(3m+2)$ sia un cubo: deve esistere un intero $p$ tale che $m=2p$, da cui $a+nd=2^3(3p+1)$. La questione si riduce quindi all'esistenza di cubi con residuo 1 modulo 3 (e' sufficiente scegliere $4^3$)..

Soluzione esatta