Piramide, sfere e rapporti
Piramide, sfere e rapporti
Siano $r$ e $R$ rispettivamente i raggi della sfera inscritta e circoscritta ad una piramide regolare a base quadrata. SI dimostri che $\displaystyle \frac{R}{r} \geq \sqrt{2} +1$
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
Re: Piramide, sfere e rapporti
Sia $l$ il lato di base della piramide e $h$ l'altezza.
$R$ è il raggio della circonferenza circoscritta a un triangolo isoscele di base $l\sqrt{2}$ e altezza $h$, quindi $R=\frac{2h^2+l}{4h}$.
$r$ è il raggio della circonferenza inscritta a un triangolo isoscele di base $l$ e altezza $h$, pertanto $r=\frac{l(\sqrt{4h^2+l^2}-l)}{4h}$.
Poniamo $\frac{R}{r}=k$ e $2h^2=xl^2$, allora abbiamo che $l^2+xl^2=kl(\sqrt{2xl^2+l^2}-l)$.
Dopo qualche semplice passaggio algebrico arriviamo a $x^2-2x(k^2-k-1)+2k+1=0$.
$\Delta \ge0 \rightarrow k \le 1- \sqrt{2} \vee k\ge \sqrt{2}+1$
Chiaramente soluzioni negative di $k$ non sono ammesse, pertanto $\frac{R}{r}\ge \sqrt{2}+1$.
$R$ è il raggio della circonferenza circoscritta a un triangolo isoscele di base $l\sqrt{2}$ e altezza $h$, quindi $R=\frac{2h^2+l}{4h}$.
$r$ è il raggio della circonferenza inscritta a un triangolo isoscele di base $l$ e altezza $h$, pertanto $r=\frac{l(\sqrt{4h^2+l^2}-l)}{4h}$.
Poniamo $\frac{R}{r}=k$ e $2h^2=xl^2$, allora abbiamo che $l^2+xl^2=kl(\sqrt{2xl^2+l^2}-l)$.
Dopo qualche semplice passaggio algebrico arriviamo a $x^2-2x(k^2-k-1)+2k+1=0$.
$\Delta \ge0 \rightarrow k \le 1- \sqrt{2} \vee k\ge \sqrt{2}+1$
Chiaramente soluzioni negative di $k$ non sono ammesse, pertanto $\frac{R}{r}\ge \sqrt{2}+1$.