Sette interi...

luca88 · Messaggio da **luca88** » 01 gen 1970, 01:33

Ho bisogno di una dimoatrazione carina di questo:
 
 Dimostrare che, presi sette interi diversi tra loro tali che la loro somma sia 100, ne esistono fra questi sempre 3 tali che la loro somma si uguale o maggiore a 50
 
 aiutatemi <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
 
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publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

Hai scritto dimostrare che... se... suppongo che il se sia un errore, giusto?

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

Allora... se si potesse ottenere 100 come somma di sette numeri consecutivi si avrebbe che la massima tra le somme di tre terne qualsiasi sarebbe minima (non so se sono stato chiaro...) questo però, come è facile vedere non è possibile, tuttavia 11+12+13+14+15+16+17=98 e 15+16+17=48, che è la somma massima poiché per ottenere 100 bisogna aumentare di 1 due degli addendi, poiché per ipotesi essi sono tutti diversi i due più grandi diventano 17 e 18 e 15+17+18=50.

luca88 · Messaggio da **luca88** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-05-18 20:06, publiosulpicio wrote:
 Allora... se si potesse ottenere 100 come somma di sette numeri consecutivi si avrebbe che la massima tra le somme di tre terne qualsiasi sarebbe minima (non so se sono stato chiaro...)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Ti dispiacerebbe spiegarmelo molto brevemente? Se no grazie lo stesso

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

La somma sarebbe minima se fossero tutti uguali, e questo è chiaro, altrimenti basterebbe prendere i più grandi, tuttavia non possono essere tutti uguali per ipotesi, quindi alcuni vanno aumentati e altri diminuiti, per mantenere la somma di tutti costante, per aumentare il meno possibile i più grandi li si mette in successione aritmetica, e dunque pure i più piccoli sono in successione aritmetica.
 Non sono mai stato molto bravo a spiegarmi... e sopratutto qui non sono stato per niente matematico!

afullo · Messaggio da **afullo** » 01 gen 1970, 01:33

Io ho ragionato così:
 Chiamiamo, in ordine crescente, i sette numeri da ricercare x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7.
 Allora il problema si riduce a risolvere il sistema di un’equazione e una disequazione composto dalle seguenti due:
 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 100
 x5 + x6 + x7 < 50
 
 con x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 € N (beh avete capito)
 e x1 < x2 < x3 < x4 < x5 < x6 < x7
 
 Dal sistema a cui sopra, è semplice ricavare un’altra disequazione:
 x1 + x2 + x3 + x4 > 50
 
 Se vogliamo (ma questo passaggio non è obbligatorio, è solo d’ausilio) possiamo calcolarci alcune medie aritmetiche:
 
 (x1 + x2 + x3 + x4)/4 > 12,5
 (x5 + x6 + x7)/3 < 16,67 circa
 
 Dunque, per poter confutare la tesi, la media aritmetica dei quattro numeri più bassi deve essere superiore a 12,5, mentre quella dei tre numeri più alti inferiore a 50/3, appunto circa 16,67.
 
 È facile osservare che x4 < 15. Infatti, se anche solo x4 valesse 15, otterremo le tre seguenti disequazioni:
 x5 ≥ 16
 x6 ≥ 17
 x7 ≥ 18
 
 Qui appunto la media aritmetica ci può aiutare poiché vediamo a occhio che i numeri sono in progressione aritmetica e sono in numero dispari, quindi la media aritmetica è il valore centrale: quindi per x4 = 15 otterremo:
 
 (x5 + x6 + x7)/3 ≥ 17
 
 ma ciò contrasta con il tentativo di confutazione della tesi, secondo il quale la media aritmetica doveva essere inferiore a 16,67.
 
 Oppure, se non abbiamo calcolato la media, arriviamo alla conclusione che:
 (x5 + x6 + x7) ≥ 51
 trovando quindi una terzina che ha come somma un numero maggiore di 50 (51>50) e confermando quindi la tesi.
 
 Una volta stabilito che x4 può valere al massimo 14, troviamo altre disequazioni:
 
 
 
 x4 ≤ 14
 x3 ≤ 13
 x2 ≤ 12
 x1 ≤ 11
 
 Anche qui la media aritmetica è semplice da calcolare, in quanto i numeri sono in progressione aritmetica e in numero pari: la media aritmetica dei quattro numeri è quindi la media dei due centrali, corrispondente a (12+13)/2= 12,5
 
 Nel caso in cui non avessimo calcolato la media, era possibile fare la somma. In entrambi i casi otteniamo che, se vogliamo rispettare la (x5 + x6 + x7) < 50, ci risulta questa disequazione:
 
 x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 50
 scrivibile anche:
 (x1 + x2 + x3 + x4)/4 ≤ 12,5
 
 Ma per confutare la tesi era necessario che questa somma fosse superiore a 50, invece così scopriamo che in nessun caso la somma suddetta è superiore a 50! Quindi rispettando la seconda disequazione è impossibile rispettare la prima e viceversa. La tesi è inconfutabile quindi ed è pertanto dimostrata.
 
 Se non hai capito qualcosa dimmelo. Non vorrei averti troppo confuso le idee con le medie aritmetiche, che in fondo servono solo da ausilio; nel caso in cui facessi confusione (spero di no!), non considerarle e considera solo i passaggi in cui si parla di somme.
 
 Afullo