I poligoni ombra

[<enigma>]

Dato un $n$-agono ciclico planare $\mathcal P$, sia $F(\mathcal P)$ il suo poligono ombra, così definito: se l'$n$-agono è $A_1 A_2 ... A_n$, il suo poligono ombra è $B_1 B_2 ... B_n$, dove $B_i$ è il punto medio dell'arco $A_iA_{i+1}$ della circonferenza circoscritta (indici modulo $n$).
1) (facile) Comunque dato l'$n$-agono ciclico, la sequenza $F(\mathcal P), F(F(\mathcal P)), F(F(F(\mathcal P))), ...$ converge ad un $n$-agono regolare.
2) (difficile) Dimostrare che nella sequenza di cui sopra ad ogni passo la varianza del lato dell'$n$-agono è al massimo la metà di quella del precedente.

[dario2994]

Che vuol dire varianza?

[<enigma>]

Detto $\mathbb E (X)$ il valore atteso della variabile $X$, la varianza è $\mathbb E ((X-\mathbb E(X))^2)$; vedi anche http://en.wikipedia.org/wiki/Variance
(in effetti avrei dovuto scrivere la varianza della lunghezza del lato, ma se scrivo del lato e basta penso si capisca comunque)

[dario2994]

Bene vediamo se ho capito...
Se i lati del quadrilatero sono $1,2,3,4$ allora la media è $2.5$ e quindi la varianza è $\frac{1.5^2+0.5^2+0.5^2+1.5^2}{4}=1.25$ confermi?

[<enigma>]

Sì.

[Ido Bovski]

Per quanto riguarda il punto (2), è sicuro che sia "la varianza della lunghezza del lato" e non "la varianza della lunghezza dell'arco"

[Ido Bovski]

Va bien, nessuno risponde, dunque posto la dimostrazione.

Soluzione (2).
Sia $\ell_i$, per ogni $i=1,\ldots, n$, la lunghezza dell'arco i cui estremi sono due vertici consecutivi dell'$n$-agono $\mathcal{P}$ (e che non contiene ulteriori vertici).
Consideriamo $\mathcal{P}$ inscritto in una circonferenza unitaria, allora $\sum_{i=1}^n \ell_i=1$.

Se $F^{(k+1)}(\ell_i)$ è la lunghezza dell'arco i cui estremi sono i punti medi degli archi di lunghezze $F^{(k)}(\ell_i)$ e $F^{(k)}(\ell_{i+1})$, allora
$$F^{(k+1)}(\ell_i)=\frac{F^{(k)}(\ell_i)+F^{(k)}(\ell_{i+1})}{2}$$
dove gli indici sono da considerarsi modulo $n$.

Indicando con $\mbox{Var}(X_k)$ la varianza delle lunghezze $F^{(k)}(\ell_i)$, abbiamo che
\begin{align*}
\mbox{Var}(X_{k+1}) &= \mathbb{E}(X_{k+1}^2)-(\mathbb{E}(X_{k+1}))^2 \\
&= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n F^{(k+1)}(\ell_i)^2-\left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n F^{(k+1)}(\ell_i) \right)^2 \\
&= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( \frac{F^{(k)}(\ell_i)+F^{(k)}(\ell_{i+1})}{2} \right)^2-\frac{1}{n^2} \\
&= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{F^{(k)}(\ell_i)^2+F^{(k)}(\ell_{i+1})^2}{4}+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{F^{(k)}(\ell_i)F^{(k)}(\ell_{i+1})}{2}-\frac{1}{n^2} \\
&= \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^n F^{(k)}(\ell_i)^2+\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^n F^{(k)}(\ell_i)F^{(k)}(\ell_{i+1})-\frac{1}{2n^2}-\frac{1}{2n^2} \\
&= \frac{1}{2}\left( \mathbb{E}(X_k^2)-(\mathbb{E}(X_k))^2 \right)+\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^n F^{(k)}(\ell_i)F^{(k)}(\ell_{i+1})-\frac{1}{2n^2} \\
&= \frac{1}{2}\mbox{Var}(X_k)+\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^n F^{(k)}(\ell_i)F^{(k)}(\ell_{i+1})-\frac{1}{2n^2}.
\end{align*}
Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz,
$$\sum_{i=1}^n F^{(k)}(\ell_i)F^{(k)}(\ell_{i+1})\le \sqrt{\left( \sum_{i=1}^n F^{(k)}(\ell_i)^2 \right)\left( \sum_{i=1}^n F^{(k)}(\ell_{i+1})^2 \right)}=\sum_{i=1}^n F^{(k)}(\ell_i)^2 .$$
Vale l'uguaglianza se e solo se $F^{(k)}(\ell_i)/F^{(k)}(\ell_{i+1})$ è costante al variare di $i$, ovvero, considerando che $\sum_{i=1}^n F^{(k)}(\ell_i)=1$, se e solo se $F^{(k)}(\ell_1)=\ldots=F^{(k)}(\ell_n)=1/n$. Pertanto,
$$\mbox{Var}(X_{k+1})\le \frac{1}{2}\mbox{Var}(X_k)+\frac{1}{2n}\left( n\cdot\frac{1}{n^2} \right)-\frac{1}{2n^2}=\frac{1}{2}\mbox{Var}(X_k).$$

Soluzione (1).
Poiché la varianza non è mai negativa, dal risultato del punto precedente ricaviamo che
$$\lim_{k\to\infty} \mbox{Var}(X_k)=0.$$
Dunque, osservando che quando la varianza è $0$ la variabile assume soltanto un valore, abbiamo che
$$\lim_{k\to\infty} F^{(k)}(\ell_i)=\frac{1}{n}$$
ovvero $F^{(k)}(\mathcal{P})$ converge a un $n$-agono regolare per $k\to\infty$.