Staffetta 26: un quadrato che scivola

[spugna]

E' dato un quadrato $ABCD$ su un piano cartesiano: inizialmente $A$ si trova nell'origine, mentre $B$ e $D$ giacciono rispettivamente sui semiassi positivi delle ascisse e delle ordinate; poi comincia a "scivolare" ($A$ e $D$ rimangono sempre aderenti agli assi) fino a quando il lato $AD$ si adagia sull'asse $x$

Trovare tutti i punti interni al quadrato che si muovono il linea retta
Bonus (non fa parte della staffetta): trovare i punti che si muovono lungo un arco di dirconferenza

[Mist]

Bon, sono passate due settimane, e siccome nessuno ha risposto suppongo che non esista un modo più carino del mio (orribile) per risolvere questo problema, alchè posto...

Lavoro con i complessi. Gli assi cartesiani diventano gli assi del piano di Gauss. $D$ è descritto da $ai$, $B$ invece corrisponde al numero $\sqrt{1-a^2}$. Posso identificare ogni punto $P$ del quadrato con $\rho (ai-\sqrt{1-a^2})(\cos{(\alpha )} -i\sin{(\alpha )}) +\sqrt{1-a^2}$ per una qualche scelta di $rho$ e $\alpha$. $alpha$ indichera l'ampiezza dell'angolo $\hat{PAD}$, mentre $\rho$ indicherà la misura di $PA$. Il numero scritto sopra si riscrive come $h(a)=\rho i[a\cos{\alpha}+\sqrt{1-a^2}\sin{\alpha}]+\rho[a\sin{\alpha} - \sqrt{1-a^2}\cos{\alpha}]+\sqrt{1-a^2}$. Notiamo ora che $f(a)+g(a)i$ descrive al variare di $a$ una retta se e solo se $\displaystyle \frac{g(a+x)-g(a)}{f(a+x)-f(a)} = \mbox{costante}$ per goni scelta di $x$. Posto quindi $a=0$ e $g(x)= 1-\sqrt{1-x^2}$ si deve avere, affinchè $h(a)$ descriva una retta, che $\displaystyle \frac{\rho[g(x)\sin{\alpha}-x\cos{\alpha}]}{\rho[-x\sin{\alpha}-g(x)\cos{\alpha}]+g(x)} = k$ dove $k$ indica una generica reale costante per ogni $x$. Si deve trovare insomma quel $\rho$ e quell'$ \alpha$ tali che $g(x)[\rho \cos{\alpha}+\rho \sin{\alpha}-k] = x[\rho \cos{\alpha}-\rho \sin{\alpha}]$. Affinchè questo accada, si deve avere che $\rho \cos{\alpha}+\rho \sin{\alpha}-k=0$ e che quindi $\rho \cos{\alpha}-\rho \sin{alpha}=0$ perchè altrimenti si dovrebbe avere che $\displaystyle \frac{g(x)}{x} = \mbox{costante}$ per ogni x, che è chiaramente assurdo. Le condizioni sopra si verificano per $\displaystyle \alpha = \frac{\pi}{4}$ e quindi per $\displaystyle \rho = \frac{\sqrt{2}}{2}$. In conclusione, l'unico punto che descrive una linea retta è il centro del quadrato.

[spugna]

Non ho ancora letto la tua soluzione perché adesso non ho tempo, comunque se ci pensi anche $A$ e $D$ si muovono in linea retta (perché giacciono sempre sugli assi...)

[Mist]

In effetti la soluzione è segata Vedo di correggere...

[dario2994]

Bon... è il mio turno.
Sia $P\in \mathbb{C}$. Considero $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ definita come $f(z)=(P-\frac12)z-\frac12\bar{z}$.
$f$ è un'affinità del piano complesso e manda $0$ in $0$.
In particolare $f$ è biettiva sse $f(x)=0\iff x=0$ (una freccia è facile l'altra un po' meno ed è un fatto più o meno noto sulle affinità che se un solo vettore diviene quello nullo allora è biettiva).
Assumo per assurdo esista $z\not=0\ t.c.\ f(z)=0$ e allora $(P-\frac12)z-\frac12\bar{z}=0\iff 2P-1=\frac{\bar z}{z}$ E per quest'ultima esiste $z$ sse $|2P-1|=1$.
Quindi $f$ è non biettiva (e quindi per fatto noto ha come codominio una retta del piano complesso) sse $|2P-1|=1$ e cioè sse $P$ sta sulla circonferenza di diametro $A,D$ (tornando alla notazione del problema).
Ebbene ora torno al problema e prendo un punto $P$ e vedo cosa gli succede al muoversi del quadrato.
Sia $z$ sulla circonferenza unitaria... allora voglio vedere dove si trova P quando il quadrato "è ruotato" di $z$... beh è un po' lunga da dire ma insomma finisce che $P$ sta in $z\cdot P-\frac{z+\bar z}2=f(z)$.
Ebbene allora il luogo dei punti coperto da P al muoversi del quadrato sarà $\{f(z):|z|=1\}$ e cioè dove viene mandata la circonferenza unitaria da $f$ (in realtà solo un quarto della circonferenza unitaria... ma non cambia nulla).
Devo trovare per quali $P$ la circonferenza unitaria viene mandata su una retta... ma essendo $P$ un'affinità cioè succede solo se l'affinità non è biettiva e cioè, per quanto detto prima, sse $P$ sta sulla circonferenza di diametro $AD$!!!

Per il bonus bisogna vedere quando la circonferenza unitaria viene mandata in una circonferenza... che è equivalente a scoprire per quali $P$ $f$ è una rotoomotetia con o senza simmetria di centro $0$... beh ma allora deve essere per forza della forma $f(z)=qz$ o $f(z)=q\bar z$... e questo banalmente succede soltanto per $P=\frac12$ che è l'unico punto che si muove su una circonferenza al muoversi del quadrato.

[spugna]

Se aspetti una conferma chiedila a qualcun altro: molti dei "fatti noti" che hai citato li ho sentiti per la prima volta!!
Comunque il risultato finale dovrebbe essere giusto...

[spugna]

Ok, ho riletto la soluzione e alla fine mi sembra di averla capita!! Mi scuso pubblicamente per aver interrotto la staffetta... Procedi pure!

[Ido Bovski]

@dario2994: noi aspettiamo te...

[Robertopphneimer]

questo è della normale!

[dario2994]

@dario2994: noi aspettiamo te...

A voi signori.