binomiali

[alunik]

Dimostrare:

1) $ \displaystyle{\sum_{k=1}^n \frac {(-1)^{k-1}} {k}\displaystyle\binom{n}{k}}=\displaystyle{\sum_{i=1}^n\frac {1} {i}} $

2) $ \displaystyle{\sum_{i=0}^n \frac {1} {\binom{n}{i}}}=\displaystyle{\frac {n+1} {2^{n+1}}\sum_{i=1}^{n+1}\frac {2^i} {i}} $

[Chuck Schuldiner]

Intanto scrivo la prima. Faccio un'induzione su n:
PASSO BASE: vabbè
PASSO INDUTTIVO: Distinguo 2 casi:
-n dispari:$ \displaystyle{\sum_{k=1}^n \frac {(-1)^{k-1}} {k}\binom{n}{k}=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{n}{n-k} \cdot \frac {(-1)^{k-1}} {k}\binom{n-1}{k}+\frac{1}{n}=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{n-k} \cdot \frac {(-1)^{k-1}} {k}\binom{n-1}{k}+ \sum_{k=1}^{n-1}\frac {(-1)^{k-1}} {k}\binom{n-1}{k}+\frac{1}{n}=} $
$ \displaystyle{=\frac {1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} (-1)^{k-1} \binom{n}{k}+\sum_{k=1}^n\frac {1} {k}=\frac {1}{n}\sum_{k=0}^{n} (-1)^{k-1} \binom{n}{k}+\frac{1}{n}\binom{n}{0}-\frac{1}{n}\binom{n}{n}+\sum_{k=1}^n\frac {1} {k}=\sum_{k=1}^n\frac {1} {k}} $
dove nel terzultimo passaggio ho usato l'ipotesi induttiva e nell'ultimo il fatto che la somma a segni alterni dei binomiali è 0.
-n pari: $ \displaystyle{\sum_{k=1}^n \frac {(-1)^{k-1}} {k}\binom{n}{k}=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{n}{n-k} \cdot \frac {(-1)^{k-1}} {k}\binom{n-1}{k}-\frac{1}{n}=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{n-k} \cdot \frac {(-1)^{k-1}} {k}\binom{n-1}{k}+ \sum_{k=1}^{n-1}\frac {(-1)^{k-1}} {k}\binom{n-1}{k}-\frac{1}{n}=} $
$ \displaystyle{=\frac {1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} (-1)^{k-1} \binom{n}{k}+\sum_{k=1}^n\frac {1} {k}-\frac{2}{n}=\frac {1}{n}\sum_{k=0}^{n} (-1)^{k-1} \binom{n}{k}+\frac{1}{n}\binom{n}{0}+\frac{1}{n}\binom{n}{n}+\sum_{k=1}^n\frac {1} {k}-\frac{2}{n}=\sum_{k=1}^n\frac {1} {k}} $