Problema della gara provinciale , un hint?

[flutist001]

Salve , sono in quarto ginnasio e già mi sto cimentando con qualche problema delle provinciali.Diciamo che sto in un punto sbilanciato.Le gare di Archimede sono facili , ma quelle delle provinciali mi risultano troppo difficili specialmente per i problemi dimostrativi...non vi chiedo di risolvermi il problema perché sarebbe inutile , ma se mi consigliaste come cominciare a impostare la soluzione ve ne sarei grato , perché mi trovo completamente spiazzato , non so proprio da dove iniziare!Il problema è questo :

Determinare tutte le coppie (m , n) di interi positivi m e n tali che :
$$ \frac {3^m +3}{2^n+2^n-1} $$ sia un numero intero.
Al denominatore non è (2^n)-1 ma 2^(n-1) , ma il latex non me lo fa scrivere , boh?!

Grazie mille!

[xXStephXx]

$ \displaystyle{\frac {3^m +3}{2^n+2^{n-1}}} $

Codice: Seleziona tutto

\displaystyle{\frac {3^m +3}{2^n+2^{n-1}}}

Comincia a raccogliere e semplificare. Poi cerca di capire quanti fattori "2" ci possono stare in una potenza di 3 aumentata di 1.

[flutist001]

$ \displaystyle{\frac {3^m +3}{2^n+2^{n-1}}} $

Codice: Seleziona tutto

\displaystyle{\frac {3^m +3}{2^n+2^{n-1}}}

Comincia a raccogliere e semplificare. Poi cerca di capire quanti fattori "2" ci possono stare in una potenza di 3 aumentata di 1.

Ok , ho raccolto e semplificato , ma il passaggio n.2 non mi è chiaro.Ho capito che le potenze di 3 aumentate di 1 sono sempre pari , ma non credo mi porterà molto lontano (?) , e poi che n dovrebbe essere minore o uguale ad m perché siano soluzioni intere , ma questa credo sia una cosa più che inutile (e forse sbagliata) , ma boh , sto trovando delle soluzioni ma sto solo facendo tentativi a vuoto a caso e ciò immagino sia una cosa da non fareper quanto ne possa sapere un principiante ...una cosa , ma se 3(m^-1) +1 è sempre pari , non dovrebbero esserci infinite soluzioni?!Ti prego perdonami per queste cose che dico che immagino troverai sciocche , mah...

[xXStephXx]

Sì, le soluzioni sono infinite, però tu devi trovare la classe di soluzioni. Cioè in poche parole devi trovare una forma per poter esprimere tutte le soluzioni.
L'osservazione che il numeratore è sempre multiplo di 2 è corretta.. Ora cerca di capire per quali valori di m è multiplo anche di 4.. E può essere anche multiplo di 8? (se è anche multiplo di 8 prova con 16, però se ti accorgi che non ne vieni a galla, probabilmente questo non è il metodo giusto per risolvere il problema... Ma se il numeratore non dovesse mai essere multiplo di 8 questo cosa implica?)

[flutist001]

Sì, le soluzioni sono infinite, però tu devi trovare la classe di soluzioni. Cioè in poche parole devi trovare una forma per poter esprimere tutte le soluzioni.
L'osservazione che il numeratore è sempre multiplo di 2 è corretta.. Ora cerca di capire per quali valori di m è multiplo anche di 4.. E può essere anche multiplo di 8? (se è anche multiplo di 8 prova con 16, però se ti accorgi che non ne vieni a galla, probabilmente questo non è il metodo giusto per risolvere il problema... Ma se il numeratore non dovesse mai essere multiplo di 8 questo cosa implica?)

Forse ho trovato qualcosa , ma non saprei dimostrarlo : ho notato che se m-1 è dispari allora è divisibile per 4 , mi pare di ricordare un teorema sulle ultime cifre delle potenze di tre che dovrebbe aiutare ma ora non lo ricordo...sto cercando valori che siano divisibili per 8 ma non ci dovrebbero essere perché se ci sono valori divisibili per 4 , quelli per 8 dovrebbero essere moltiplicati per 2 , ma essendo negli ambiti delle potenze di 3...

[Drago96]

Forse ho trovato qualcosa , ma non saprei dimostrarlo : ho notato che se m-1 è dispari allora è divisibile per 4

E' esatto. Suppongo però dalla tua affermazione che tu non conosca le congruenze, che in questo caso potrebbero dare una buona mano
Non passando per le congruenze la prima cosa che mi viene in mente è una variante dell'induzione: se parti dal presupposto che $4\mid 3^{m-1}+1$, allora sicuramanete 4 divide un qualsiasi multiplo di quella quantità, e se a te serve dimostrare la proprietà per tutti gli esponenti dispari, ti basta aumentare $m-1$ di 2... per cosa potresti moltiplicarlo?

sto cercando valori che siano divisibili per 8 ma non ci dovrebbero essere perché se ci sono valori divisibili per 4 , quelli per 8 dovrebbero essere moltiplicati per 2 , ma essendo negli ambiti delle potenze di 3...

Non ce ne sono, ma mi pare che tu stia dando una motivazione sbagliata... Anche qua con le congruenze sarebbero un paio di passaggi.
Purtroppo ora non mi viene in mente un metodo alternativo...

Comunque un grossso consiglio: guardati le congruenze

[flutist001]

Non ce ne sono, ma mi pare che tu stia dando una motivazione sbagliata... Anche qua con le congruenze sarebbero un paio di passaggi.
Purtroppo ora non mi viene in mente un metodo alternativo...

Comunque un grossso consiglio: guardati le congruenze

Sì , credo che lo farò , ma mi sembrano molto complicate!Grazie comunque!

[xXStephXx]

$ 3^{2k}+1= 3^{2k}-1^{2k}+2= (3^k+1)(3^k-1)+2 $ I due fattori sono multipli di 2 quindi il prodotto è multiplo di 4, aumentato di 2 non è più divisibile per 4 ma è divisibile per 2.

$ 3^{2k+1}+1^{2k+1}= 4(3^{2k}-3^{2k-1}+3^{2k-2}-...+3^0) $ Nel secondo fattore ci sono un numero dispari di addendi dispari, quindi la somma è dispari, per cui il numero è multiplo di 4 ma non di 8.

Ma è un po' scomodo così..
Meglio le congruenze

[jordan]

Meglio le congruenze

Sì, in teoria uno può farne a meno specie ai provinciali, ma quando capisci di cosa si tratta uno pensa "wah, la scoperta dell'acqua calda.."
A chi può interessare ne ho postato uno simile qui