IMO Shortlist 1997, ciclicità

[ghilu]

Sia ABCD convesso e O l'intersezione delle sue diagonali (AC e BD).
Siano $ \ \alpha\ \ \ \beta\ \ \ \gamma\ \ \ \delta\ $ gli angoli in A, B, C, D rispettivamente.
Si ipotizzi:

$ OA\cdot sin\alpha +OC\cdot sin\gamma =OB\cdot sin\beta +OD\cdot sin\delta $.

Si provi che allora ABCD ciclico.

[doiug.8]

Uppo questo problema, che ho trovato abbastanza interessante, e aggiungo un hint:

Testo nascosto:

Siano $K_A$ e $K_D$ rispettivamente le proiezioni di $O$ sui lati $AB$ e $DA$. Quanto vale $K_AK_D$?

[zeitgeist505]

Soluzione:

Testo nascosto:

Per:
$ \alpha+\gamma=2\pi \Rightarrow sin\alpha= sin\gamma $
$ \beta+\delta=2\pi \Rightarrow sin\beta=sin\delta $
la tesi equivale a:
$ \sin \alpha : \sin \beta = (OA+OC):(OB+OD) \Rightarrow \sin \alpha : \sin \beta = AC:BD $
E quindi equivale a dimostrare che in un quadrilatero ciascuna diagonale è direttamente proporzionale al seno degli angoli che non taglia.
Quindi torniamo al nostro quadrilatero $ ABCD $.
Sia $ \alpha' = BDA $ e $ \beta'=ACB $.
Abbiamo per il teorema dei seni su un po' di triangoli:
$ \displaystyle \frac{sen \beta}{CA}= \frac{sen \beta'}{BA}=\frac {sen \alpha'}{BA}=\frac{sen \alpha}{BD} $

Quindi $ \displaystyle \frac{sen \beta}{CA}=\frac{sen \alpha}{BD} $che è la tesi.

[doiug.8]

Soluzione:

Testo nascosto:

Per:
$ \alpha+\gamma=2\pi \Rightarrow sin\alpha= sin\gamma $
$ \beta+\delta=2\pi \Rightarrow sin\beta=sin\delta $
la tesi equivale a:
$ \sin \alpha : \sin \beta = (OA+OC):(OB+OD) \Rightarrow \sin \alpha : \sin \beta = AC:BD $
E quindi equivale a dimostrare che in un quadrilatero ciascuna diagonale è direttamente proporzionale al seno degli angoli che non taglia.
Quindi torniamo al nostro quadrilatero $ ABCD $.
Sia $ \alpha' = BDA $ e $ \beta'=ACB $.
Abbiamo per il teorema dei seni su un po' di triangoli:
$ \displaystyle \frac{sen \beta}{CA}= \frac{sen \beta'}{BA}=\frac {sen \alpha'}{BA}=\frac{sen \alpha}{BD} $

Quindi $ \displaystyle \frac{sen \beta}{CA}=\frac{sen \alpha}{BD} $che è la tesi.

Testo nascosto:

Hai confuso ipotesi e tesi! Va bien, ora sappiamo che si tratta di un se e solo se
(Volevi scrivere $\alpha+\gamma=\pi$ e $\beta+\delta=\pi$)

[zeitgeist505]

Soluzione:

Testo nascosto:

Per:
$ \alpha+\gamma=2\pi \Rightarrow sin\alpha= sin\gamma $
$ \beta+\delta=2\pi \Rightarrow sin\beta=sin\delta $
la tesi equivale a:
$ \sin \alpha : \sin \beta = (OA+OC):(OB+OD) \Rightarrow \sin \alpha : \sin \beta = AC:BD $
E quindi equivale a dimostrare che in un quadrilatero ciascuna diagonale è direttamente proporzionale al seno degli angoli che non taglia.
Quindi torniamo al nostro quadrilatero $ ABCD $.
Sia $ \alpha' = BDA $ e $ \beta'=ACB $.
Abbiamo per il teorema dei seni su un po' di triangoli:
$ \displaystyle \frac{sen \beta}{CA}= \frac{sen \beta'}{BA}=\frac {sen \alpha'}{BA}=\frac{sen \alpha}{BD} $

Quindi $ \displaystyle \frac{sen \beta}{CA}=\frac{sen \alpha}{BD} $che è la tesi.

Testo nascosto:

Hai confuso ipotesi e tesi! Va bien, ora sappiamo che si tratta di un se e solo se
(Volevi scrivere $\alpha+\gamma=\pi$ e $\beta+\delta=\pi$)

non penso di aver confuso ipotesi e tesi, ma dovrei ricontrollare
per quanto riguarda i $ \pi $, devi sapere che la mia trigonometria è molto faidate

[doiug.8]

Ipotesi: $OA\cdot sin\alpha +OC\cdot sin\gamma =OB\cdot sin\beta +OD\cdot sin\delta$
Tesi: $ABCD$ ciclico

la tesi equivale a:
$ \sin \alpha : \sin \beta = (OA+OC):(OB+OD) \Rightarrow \sin \alpha : \sin \beta = AC:BD $

[zeitgeist505]

Ipotesi: $OA\cdot sin\alpha +OC\cdot sin\gamma =OB\cdot sin\beta +OD\cdot sin\delta$
Tesi: $ABCD$ ciclico

la tesi equivale a:
$ \sin \alpha : \sin \beta = (OA+OC):(OB+OD) \Rightarrow \sin \alpha : \sin \beta = AC:BD $

una volta dimostrato questo è banale arrivare a dire che $ ABCD $ è ciclico...
si può notare che $ ABC $ e $ BCD $ hanno stesso circoraggio quindi...

[doiug.8]

Ipotesi: $OA\cdot sin\alpha +OC\cdot sin\gamma =OB\cdot sin\beta +OD\cdot sin\delta$
Tesi: $ABCD$ ciclico

la tesi equivale a:
$ \sin \alpha : \sin \beta = (OA+OC):(OB+OD) \Rightarrow \sin \alpha : \sin \beta = AC:BD $

una volta dimostrato questo è banale arrivare a dire che $ ABCD $ è ciclico...
si può notare che $ ABC $ e $ BCD $ hanno stesso circoraggio quindi...

Ho capito perfettamente il ragionamento che tu volevi fare, ed anche corretto, ma, ripeto, mi pare che tu confonda ipotesi e tesi, o perlomeno così fai capire.
Qualcuno intervenga altrimenti questa discussione potrebbe durare all'infinito...
(E' comunque plausibile che io mi sia del tutto rincretinito!)