A^2 + B^2 = C^2 + 3

[pepsi]

$ A^2 + B^2 = C^2 + 3 $

dimostrare che esistono infiniti numeri interi che soddisfano l'equazione.

metto la mia prova delirante che prova non è, ma se lo fosse e di questo non ne sono sicuro (lascio a voi utenti navigati la conferma) sarebbe la dimostrazione più elementare mai vista.

eccola:

Un quadrato perfetto è la somma dei primi $ N $ numeri dispari consecutivi, chiamo $ X $ il più grande di questi.
(a parte) La somma dei primi dispari consecutivi escluso $ 3 $ per $ 2m+1 $ termini è a sua volta un numero dispari.
Se ho che il numero dispari ottenuto sommando i $ 2m+1 $ dispari consecutivi escluso $ 3 $ è il consecutivo di $ X $ e assegno a $ C^2 $ il valore somma del quadrato perfetto più il dispari trovato, a $ B^2 $ il valore del quadrato perfetto e ad $ A^2 $ il valore del dispari trovato più il numero $ 3 $ allora ho trovato una tripletta $ (A,B,C) $ che soddisfa la $ A^2 + B^2 = C^2 +3 $.
Ma questo non dimostra nulla perchè non è assicurato che possa esistere un dispari ottenuto sommando i primi $ 2m+1 $ dispari consecutivi escluso il $ 3 $ che sia esattamente il consecutivo di $ X $.
Ma se proseguo al rovescio posso dimostrare la tesi:
Se sommo tutti i primi $ 2m+1 $ dispari consecutivi escluso $ 3 $ ottengo SEMPRE un numero dispari perchè la somma di un numero dispari di termini dispari è dispari, allora mi basta dimostrare che preso un numero dispari assegnato posso sempre costruire un quadrato perfetto prendendo tutti i dispari precedenti, ma questo è SEMPRE vero da cui segue la tesi.

[Mist]

Ti dico la mia soluzione che la tua non la capisco

Devo dimostrare che $a^2+b^2=c^2+3$.

Pongo $b=x+2$ e $c=y+1$. L'equazione di partenza diventa $a^2+x^2+4x= y^2+2y$. Notiamo però guardando l'equazione di partenza modulo $4$ che $c$ può essere congruo solamente a $\pm 1 $ e che quindi $y$ può essere congruo solo a $2$ o a $0$ sempre modulo $4$. Ne consegue che sia $a$ che $b$ sono pari, e quindi vale anche $2\mid x$. Pongo quindi $y=2f$, $x=2g$ e $a=2h$. Sostituisco e ottengo che affinchè l'equazione di partenza abbia infinite soluzioni, deve averne anche $h^2+g^2+g=f^2+f$, ovvero $g^2+g+h^2-f^2-f =0$ deve avere infinite soluzioni. Risolviamo l'equazione in $g$ e otteniamo che il problema iniziale è equivalente a dimostrare che esistono infiniti $f,h \in \mathbb{N}:$ $\displaystyle g=\frac{1-\sqrt{1-4h^2+4f^2+4f}}{2} \in \mathbb{N}$. Affinchè questo accada, si deve avere che per inifiniti $f,g$ valga che $1-4h^2+4f^2+4f = (2s+1)^2$, per qualche $s \in \mathbb{N}$. Ma questa equazione è equivalente a $(2h)^2 + (2s+1)^2= (2f+1)^2$ che ammette inifinite soluzioni in quanto espressione di tutte le terne pitagoriche composte da due "cateti" di parità diversa.

Scusami tantissimo, ma il fatto che un quadrato sia somma di dispari io tento di non usarlo mai perchè mi incasina

[pepsi]

Devo dimostrare che $a^2+b^2=c^2+3$.

Ne consegue che sia $a$ che $b$ sono pari, e quindi vale anche $2\mid x$. Pongo quindi $c=2f$, (

ciao, anche io all'inizio ho provato la congruenza per 4 però mi veniva $ A $ e $ B $ pari e $ C $ dispari

e anche guardando l'equazione iniziale si vede che $ C $ deve essere dispari, perchè assegni a $ C $ il valore $ 2f $

p.s.
per il resto non l'ho capita, è troppo avanzata come soluzione per me al momento

[Mist]

Sì, scusami, copiando dalla brutta ho sfasato tutte le lettere (che io avevo tenuto sempre uguali ad a,b,c, senza f,g e h)... Edito subito

[Drago96]

Soluzione (quasi) senza conti:
$a=2n, \ b=2n^2-2, \ c=2n^2-1$
Sostituendo nell'equazione di partenza viene un'identità

[LeZ]

L'idea di Drago è immediata ponendo $ c=b+1 $. Di conseguenza $ a^2=2(b+2) $. Ora affinchè il secondo membro sia un quadrato, $ b+2=2m^2 $. Da ciò si deduce che $ a=2m $, $ b=2(m^{2}-1), c=2m^{2}-1 $. Giusto per spiegare meglio

[pepsi]

scusate, ma la mia è corretta?
perchè se lo fosse implica che se metto al posto del numero $ 3 $ un numero $ 2f+1 $ e se sostituisco ad ogni passaggio della mia soluzione il $ 3 $ con $ 2f+1 $ arrivo a dimostrare che $ A^2 + B^2 = C^2 + 2f + 1 $ ha infinite soluzioni intere $ (A,B,C) $ per ogni $ f $

[Drago96]

Potresti scriverla meglio? Perchè non riesco bene a capirla...

[pepsi]

Potresti scriverla meglio? Perchè non riesco bene a capirla...

ciao, ora non posso perchè devo andare da una parte ma, sicuro stasera la riscrivo meglio

[pepsi]

Allora:

So che un quadrato perfetto è la somma di $ N $ numeri dispari consecutivi, prendo un quadrato perfetto a caso che chiamo $ Q $ io so che $ Q = 1 + 3 + 5 +...+ X $ (X = numero dispari più grande).

Ora se prendo $ 2m+1 $ dispari partendo da $ 1 $ tutti consecutivi escluso il numero $ 3 $ ottengo un numero dispari (perchè sommo dei dispari un numero dispari di volte), chiamo $ D $ un generico dispari formato in questo modo.

Adesso se ho che $ D = X+2 → Q + D $ è un quadrato e se assegno a $ C^2 = Q+D $ , a $ B^2 = Q $ e ad $ A^2 = D+3 $ (D+3 è un quadrato per il modo in cui ho costruito D) allora ho trovato una tripletta $ (A,B,C) $ (io ho i quadrati dei singoli termini mi basta prendere la radice di ogniuno) che soddisfa $ A^2 + B^2 = C^2 + 3 $ .

Il problema ora è che non è assicurato che costruendo $ D $ come ho fatto io posso ottenere il valore $ X+2 $ allora faccio così, costruisco prima $ D $ ed ottengo un numero dispari poi in base a quello costruisco $ Q $ prendendo tutti i dispari minori di $ D $ e questo lo posso sempre fare.

se la mia soluzione è giusta segue che $ A^2 + B^2 = C^2 + f $ con $ f $ un qualsiasi numero dispari ha infinite soluzioni intere per ogni $ f $ e per dimostrarlo mi basta fare lo stesso ragionamento ma al posto del termine $ 3 $ sostituirlo con $ f $

[Porky]

Soluzione (quasi) senza conti:
$a=2n, \ b=2n^2-2, \ c=2n^2-1$
Sostituendo nell'equazione di partenza viene un'identità

Sono arrivato a questa stessa soluzione ponendo $B=p(A)$ e $C=q(A)$ (Che deriva dall'idea "speriamo che si semplifichi tutto in qualche modo")
Due conticini:
$A^2 - 3 = (q(A))^2 - (p(A))^2$
$(q(A)+p(A))(q(A)-p(A))=A^2-3$
Trovare due polinomi che hanno somma $A^2-3$ e differenza 1 è abbastanza immediato: $\frac{1}{2}A^2-1$ e $\frac{1}{2}A^2-2$