Centro radicale di cfr indisegnabili
Centro radicale di cfr indisegnabili
$ABC$ triangolo, $A_1,B_1,C_1$ tangenze dell'incerchio nel solito ordine, $A_2$ altra intersezione di $AA_1$ con l'incerchio e cicliche, $A_3$ piede della bisettrice di $\angle B_1A_1C_1$ e cicliche. Tesi: I è centro radicale delle cfr per $A_1A_2A_3, B_1B_2B_3, C_1C_2C_3$.
Re: Centro radicale di cfr indisegnabili
Voglio dimostrare che $A_1I$ è tangente alla circonferenza circoscritta ad $A_1A_2A_3$ (e cicliche), il che implica banalmente la tesi (perchè la potenza di $I$ rispetto alla circonferenza sarebbe $A_1I^2=r^2$).
Chiamo $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ gli angoli del triangolo $A_1B_1C_1$.
Dato che $A_1A_2$ è simmediana di $A_1B_1C_1$ uscente da $A_1$, il quadrilatero $A_1B_1A_2C_1$ è armonico e quindi per il teorema della bisettrice $A_2A_3$ è bisettrice di $B_1A_2C_1$.
Quindi ho che $\angle{A_1A_2A_3}=\angle{B_1A_2A_3}-\angle{B_1A_2A_1}=90^\circ-\alpha/2-\gamma=\alpha/2-90^\circ+\beta=\angle{C_1A_1A_3}-\angle{C_1A_1I}=\angle{IA_1A_3}$
$\Longrightarrow \angle{A_1A_2A_3}=\angle{IA_1A_3}$, quindi $IA_1$ è tangente alla circonferenza circoscritta a $A_1B_1C_1$.
Chiamo $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ gli angoli del triangolo $A_1B_1C_1$.
Dato che $A_1A_2$ è simmediana di $A_1B_1C_1$ uscente da $A_1$, il quadrilatero $A_1B_1A_2C_1$ è armonico e quindi per il teorema della bisettrice $A_2A_3$ è bisettrice di $B_1A_2C_1$.
Quindi ho che $\angle{A_1A_2A_3}=\angle{B_1A_2A_3}-\angle{B_1A_2A_1}=90^\circ-\alpha/2-\gamma=\alpha/2-90^\circ+\beta=\angle{C_1A_1A_3}-\angle{C_1A_1I}=\angle{IA_1A_3}$
$\Longrightarrow \angle{A_1A_2A_3}=\angle{IA_1A_3}$, quindi $IA_1$ è tangente alla circonferenza circoscritta a $A_1B_1C_1$.
Re: Centro radicale di cfr indisegnabili
Ok, circa come la mia 