la media dei più piccoli

[alunik]

Dato un insieme {1,2,3,...n}
si prenda l'elemento più piccolo fra tutti i sottoinsiemi di r elementi e se ne faccia la media.
Dimostrare che é esattamente $ \frac{n+1}{r+1} $

[karlosson_sul_tetto]

Se $ r=1 $, la media sarà $ \frac{1+2+3...+n}{2} $ cioè $ \frac{n+1}{1+1} \cdot \frac{n}{2} $
Ho capito male io o...?

[alunik]

se r=1 la media é n(n+1)/2n=(n+1)/2 che soddisfa.....

[karlosson_sul_tetto]

Chiedo venia...

[Ertool]

Bhè, sono nuovo qui, proviamo a risolvere qualcosa, non siate cattivi
vabbè il numero di sottoinsiemi di cardinalità r è uguale a $ \displaystyle\binom{n}{r} $
Essendo gli elementi di questi sottoinsiemi distinti, il minimo elemento $ m $ di un sottoinsieme qualsiasi dovrà essere $ \le n-(r-1) $ essendoci altri $ r-1 $ elementi maggiori di $ m $
Adesso provo a calcolare la somma di tutti gli $ m $: per $ m=n-r+1 $ ci sono $ \displaystyle\binom{r-1}{r-1} $ sottoinsiemi, per $ m=n-r $ ci sono $ \displaystyle\binom{r}{r-1} $ sottoinsiemi etc... La somma di tutti gli m è data da:
$ \displaystyle\sum_{a=r-1}^{n-1}\binom{a}{r-1} (n-a) $
Quindi la media (aritmetica suppongo) è $ \frac{\displaystyle\sum_{a=r-1}^{n-1}\binom{a}{r-1} (n-a)}{\displaystyle\binom{n}{r}} $
Quindi se ora dimostrassi che $ \frac{\displaystyle\sum_{a=r-1}^{n-1}\binom{a}{r-1} (n-a)}{\displaystyle\binom{n}{r}}=\displaystyle\frac{n+1}{r+1} $ avrei finito giusto?

[Mist]

Bhè, sono nuovo qui, proviamo a risolvere qualcosa, non siate cattivi
vabbè il numero di sottoinsiemi di cardinalità r è uguale a $ \displaystyle\binom{n}{r} $
Essendo gli elementi di questi sottoinsiemi distinti, il minimo elemento $ m $ di un sottoinsieme qualsiasi dovrà essere $ \le n-(r-1) $ essendoci altri $ r-1 $ elementi maggiori di $ m $
Adesso provo a calcolare la somma di tutti gli $ m $: per $ m=n-r+1 $ ci sono $ \displaystyle\binom{r-1}{r-1} $ sottoinsiemi, per $ m=n-r $ ci sono $ \displaystyle\binom{r}{r-1} $ sottoinsiemi etc... La somma di tutti gli m è data da:
$ \displaystyle\sum_{a=r-1}^{n-1}\binom{a}{r-1} (n-a) $
Quindi la media (aritmetica suppongo) è $ \frac{\displaystyle\sum_{a=r-1}^{n-1}\binom{a}{r-1} (n-a)}{\displaystyle\binom{n}{r}} $
Quindi se ora dimostrassi che $ \frac{\displaystyle\sum_{a=r-1}^{n-1}\binom{a}{r-1} (n-a)}{\displaystyle\binom{n}{r}}=\displaystyle\frac{n+1}{r+1} $ avrei finito giusto?

Esatto, bravo, ora devi solo dimostrare l'ultima identità che hai scritto

[kalu]

Bravo Ert, soprattutto per aver imparato ad usare il LaTex in così poco tempo
Piccolo hint per concludrere:

Testo nascosto:

Pensa al triangolo di Tartaglia! Ogni elemento è la somma dei due sovrastanti...