gioco di carte

[ndp15]

Si consideri un mazzo di $ n $ carte, una sola delle quali è l'asso di picche. Le carte sono mescolate in una sequenza casuale. Si consideri il seguente gioco: le carte vengo girate in sequenza una ad una ed il giocatore in qualsiasi momento (anche prima che si sia girata la prima carta), e un'unica volta, può dichiarare che la successiva carta girata è l'asso di picche. Se si avvera quanto affermato il giocatore vince, altrimenti perde. Se il giocatore non si pronuncia prima che venga girata l'ultima carta, e l'asso di picche non è ancora uscito, allora vince ugualmente.
Trovare una strategia per massimazzare la probabilità di vittoria.

[zeitgeist505]

Dichiarare l'asso di picche alla $ \displaystyle \frac{n+1}{2} $ carta

[ndp15]

Dichiarare l'asso di picche alla $ \displaystyle \frac{n+1}{2} $ carta

Intanto spiega meglio cosa vuol dire dichiarare alla k-esima carta: intendi che la k-esima carta estratta è l'asso di picche o che lo è la k+1-esima?
Poi mostra come hai calcolato la probabilità di azzeccare la carta con la tua strategia.
Poi mostra come hai dimostrato che è la strategia migliore.
Poi accorgiti che...

[zeitgeist505]

Dichiarare l'asso di picche alla $ \displaystyle \frac{n+1}{2} $ carta

Intanto spiega meglio cosa vuol dire dichiarare alla k-esima carta: intendi che la k-esima carta estratta è l'asso di picche o che lo è la k+1-esima?
Poi mostra come hai calcolato la probabilità di azzeccare la carta con la tua strategia.
Poi mostra come hai dimostrato che è la strategia migliore.
Poi accorgiti che...

Inizio notando che alla prima carta, la possibilità che sia l'asso di picche è $ \frac{n-1}{n} $, alla seconda carta è $ \frac{n-1}{n}\frac{n-2}{n} $.... alla $ k $-esima carta è $ \frac{n-1}{n}\frac{n-2}{n-1}\frac{n-3}{n-2}\dots \frac{n-k}{n-k+1}=\frac{n-k}{n} $; quindi ho l'esatto $ P=\frac 1 2 $ di probabilità di aver già girato l'asso di picche per $ k=\frac n 2 $ ($ P $ è la probabilità di aver già girato l'asso di picche); ne consegue che devo chiarare l'asso di picche alla $ \frac n 2 $-esima carta per $ n $ pari o alla $ \frac{n+1} 2 $-esima carta $ n $ dispari

Questa è la strategia migliore poichè se dichiarassi l'asso di picche prima di $ P<\frac 1 2 $, sarebbe più probabile che non sia la carta successiva, se lo dichiarassi per $ P>\frac 1 2 $ sarebbe più probabile che l'asso sia già uscito.


Latex che fatica

[ndp15]

Questa è la strategia migliore poichè se dichiarassi l'asso di picche prima di $ P<\frac 1 2 $, sarebbe più probabile che non sia la carta successiva, se lo dichiarassi per $ P>\frac 1 2 $ sarebbe più probabile che l'asso sia già uscito.

Ti invito a riflettere con un controesempio all'errore di fondo nella tua idea: supponiamo $ n $ abbastanza grande. Ipotizziamo ora che le carte non siano più distribuite casualmente ma che sappiamo che la probabilità che l'asso di picche si trovi alla prima carta è pari a 1/3, che si trovi alla seconda è 1/6, che si trovi in generale dopo la seconda 1/2. Anche qua (indicando con P la probabilità da te calcolata) si ha P=1/2 di aver l'asso di picche prima della terza carta, e P=1/2 di avere l'asso di picche dopo la seconda carta. È altresì evidente come sia vantaggioso dichiarare prima della prima carta che la successiva è l'asse di picche, invece che dichiararlo prima della terza carta.
Consiglio: cerca di calcolare direttamente la probabilità che l'asse di picche si trovi alla k-esima carta.

[pepsi]

la probabilità di estrarre di fila carte che non sono l'asso é:

$ (n-1)/n $ per la prima

$ (n-1)/n * (n-2)/(n-1) $ per le prime 2

$ (n-1)/n * (n-2)/(n-1) * .... * (n-k)/(n-k+1) = (n-k)/n $ per le prime k

k varia da 1 a n-1

per $ k = n-1 $ la probabilità è $ 1/n $ è molto più probabile estrarre l'asso che non estrarlo, per $ k = 1 $ la probabilità è $ (n-1)/n $ che è molto alta quindi è più facile estrarre alla prima carta una che non sia l'asso.
per $ k = n/2 $ la probabilità è $ 1/2 $ quindi la probabilità è uguale a quella di estrarre l'asso, per $ k = (n+1)/2 $ è la prima volta che la probabilità di estrarre l'asso è maggiore di quella di estrarre un'altra carta, e da $ (n+1)/2 $ in poi la probabilità di estrarre l'asso è sempre più alta, allora mi conviene chiamare l'asso proprio quando è la prima volta che ha probabilità maggiore di uscire cioè alla $ (n+1)/2 $ esima carta perchè se non lo chiamo e attendo non è più strategico ma è un'azzardo perchè ad ogni carta che giro la probabilità che esca l'asso è maggiore di quella che esca un'altra carta

[caracal]

Non ne sono convinto ma penso che il ragionamento di pepsi sia sbagliato perchè dopo k passaggi la possibilità che esca l'asso (supponendo che non sia ancora uscito) è $1/(n-k)$, ciò implica che con $k=n/2$ ho una probabilità pari a $2/n$ di estrarre l'asso e non di 1/2. in particolare secondo me la probabilità di estrarre l'asso alla k-esima carta è dato dalla probabilità che egli non sia uscito nelle k-1 precedenti per la probailità che esso sia effettivamente lì ovvero è sempre 1/n. Quindi il giocatore dovunque si fermi ha la stessa probabilità di vincere...
è sbagliata vero?

[ndp15]

in particolare secondo me la probabilità di estrarre l'asso alla k-esima carta è dato dalla probabilità che egli non sia uscito nelle k-1 precedenti per la probailità che esso sia effettivamente lì ovvero è sempre 1/n. Quindi il giocatore dovunque si fermi ha la stessa probabilità di vincere...
è sbagliata vero?

No corretta!

[pepsi]

whaaa!! avevo la soluzione sotto il naso, ed era pure semplice semplice, quando canno alla grande problemi così semplici mi deprimo