zeri di questo polinomio

[pier]

Ciao a tutti.
Ho questo problema:
dato il polinomio
$ x^{3}-2x^{2}+x+a $ con $ a $ numero reale
trovare il numero di zeri al variare del parametro $ a $.

Esiste un modo senza utilizzare gli strumenti dell' analisi ?

Grazie a tutti.
Pier

[Tess]

trovare il numero di zeri

Forse non hai ben chiarito il problema: è fondamentale sapere dove vuoi cercare questi zeri, le risposte potrebbero cambiare parecchio!
Se li vuoi in $ \mathbb{C} $, il teorema fondamentale dell'algebra ti dice che ne hai sempre 3.
Se li vuoi in $ \mathbb{R} $, ne avrai 1 o 3 (eventualmente 2 coincidenti).
Se li vuoi in $ \mathbb{Z} $, potresti averne 1...

Nel caso ti servissero quelle reali credo che qualche disuguaglianza possa tornar utile, intendo cose tipo McLaurin o altre cose applicate ai coefficienti del polinomio, applicata con le dovute attenzioni. Esempio: se ti trovi che $ r_1^4+r_2^4+r_3^4<0 $ dove $ r_i $ sono le radici (eventualmente complesse) del polinomio, espressione che puoi ricavarti direttamente dai coefficienti, deduci facilmente che non possono essere reali.