Ma quanti angoli ci sono in questa figura?? [Iran NMO 2012]

[bĕlcōlŏn]

Sia $\gamma_1$ una circonferenza e $O$ un punto su essa. Sia $\gamma_2$ una circonferenza con centro $O$ che interseca $\gamma_1$ in $P$ e $Q$. $\gamma_3$ è esternamente tangente a $\gamma_2$ in $R$ e internamente tangente a $\gamma_1$ in $S$ e suppongo che $RS$ passi per $Q$. Suppongo che $X=PR \cap \gamma_1$ e $Y=OR \cap \gamma_1$. Dimostrare che $QX \parallel SY$.

[kalu]

Detta $ K $ l'intersezione delle tangenti in $ S $ e in $ R $, $ \angle KSR= \angle SRK $. Inoltre l'opposto a $ \angle SRK $ è pari a $ \angle RPQ $ perchè insiste sullo stesso arco di $ \gamma_2 $; quindi $ \angle KSR= \angle RPQ= \angle XPQ $. In riferimento a $ \gamma_2 $, $ 2 \angle XPQ=\angle ROQ=\angle YOX + \angle XOQ $ e, in riferimento a $ \gamma_1 $, $ \angle XPQ =\angle XOQ $, da cui $ \angle XPQ = \angle YOX=\angle KSR $. Poi $ \angle KSR= \angle KSQ = \angle SXQ $ perchè insiste sullo stesso arco, da cui $ \angle YOX= \angle SXQ $; quindi per somma di archi congruenti $ \angle SOX = \angle YXQ $. Per concludere notiamo che $ \angle SQX=\angle SOX =\angle YXQ=180- \angle YSQ $ da cui $ QX \parallel SY $.

[bĕlcōlŏn]

Tutto ok